Enunciado

Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.

24. y ' ' + 4 y = c o s 2 x

Passo 1

Então pessoal, como resolver esses problemas do capítulo 4.6 pelo método dos coeficientes indeterminados? Pois bem, existe uma espécie de passo a passo a ser seguida que facilita bastante nossa vida na hora da resolução. Assim como já estamos acostumados, inicialmente encontramos a equação complementar y c fazendo as substituições y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 na nossa equação diferencial. Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' + 4 y = c o s 2 x

m 2 + 4 = 0

Então encontramos que:

m 1 = a + b i = 0 + 2 i

m 2 = a - b i = 0 - 2 i

Como as raízes são complexas teremos a seguinte solução complementar:

y c = e a x . c 1 cos ⁡ b x + c 2 s e n   b x

y c = c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n   2 x

Show! Primeira etapa concluída. Guardemos esse resultado!

Passo 2

Chamando de g x o lado direito da nossa equação, então tiramos que:

g x = c o s 2 x

g x = 1 2 + 1 2 cos ⁡ 2 x

Aqui chegamos em um momento determinante da nossa resolução, pois precisamos aplicar um operador diferencial que anule g x . De acordo com o que vimos na seção em questão, quando temos uma função no formato k , o seguinte operador anula nossa função:

D

E quando temos uma função no formato cos ⁡ β x , o seguinte operador anula nossa função:

D 2 + β 2 n

No qual n é o expoente de x e D é o operador definido como D y = d y d x . No nosso caso temos temos que β = 2   e   n = 1 , logo nosso operador será:

D 2 + 4

Sendo assim, o operador que anula nossa função toda é D D 2 + 4 . Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' + 4 y = c o s 2 x

D 2 y + 4 y = c o s 2 x

D 2 + 4 y = c o s 2 x

D D 2 + 4 D 2 + 4 y = 0

E isso nos dá uma nova equação diferencial, viu só? Show de bola! (Ou não ☹)

Passo 3

Como temos uma nova equação diferencial, então vamos encontrar uma equação complementar para ela. Fazendo D 2 = m 2   e   D = m , teremos:

m m 2 + 4 2 = 0

Sendo assim, nossas raízes serão

m 1 = 0

m 2 = m 3 = a + b i = 0 + 2 i

m 4 = m 5 = a - b i = 0 - 2 i

Dessa forma, uma solução geral para nosso problema é o seguinte:

y = c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n   2 x + c 3 x . cos ⁡ 2 x + c 4 x . s e n   2 x + c 5

Observe que o termo c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n   2 x é justamente a solução complementar que encontramos lá no passo 1. Sendo assim, podemos assumir que o que restou é a nossa solução particular, não é mesmo? Logo, teremos:

y p = A x . cos ⁡ 2 x + B x . s e n   2 x + C

Aqui vale ressaltar que A = c 3 ,   B = c 4   e   C = c 5 , beleza? Top! E então devemos encontrar y p ' e y p ' ' para substituirmos láááá na equação diferencial original para fazermos aquela análise de identidade que já estamos habituados. Sim, a resolução por esse método é bem longa!

Passo 4

Derivando nossa solução particular:

y p ' = A 1 . cos ⁡ 2 x - 2 x . s e n   2 x + B 1 . s e n   2 x + 2 x . cos ⁡ 2 x

y p ' ' = - 2 A . s e n   2 x - 2 A 1 . s e n   2 x + 2 x . cos ⁡ 2 x + 2 B . cos ⁡ 2 x + 2 B 1 . cos ⁡ 2 x - 2 x . s e n   2 x

Substituindo na nossa equação original, teremos:

y ' ' + 4 y = c o s 2 x

- 2 A . s e n   2 x - 2 A 1 . s e n   2 x + 2 x . cos ⁡ 2 x + 2 B . cos ⁡ 2 x + 2 B 1 . cos ⁡ 2 x - 2 x . s e n   2 x

+ 4 A x . cos ⁡ 2 x + B x . s e n   2 x + C = c o s 2 x

Como temos uma identidade isso nos dá que:

A = 0 B = 1 8 C = 1 8

(OBS: Aqui é interessante utilizarmos uma calculadora que resolve o sistema formado a partir da identidade, uma vez que resolver analiticamente, isto é, na mão, daria um trabalho absurdo.) Portanto temos que nossa solução geral final será:

y = c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n   2 x + 1 8 x . s e n   2 x + 1 8

E essa é a nossa resolução, galera! 😉

Resposta

y = c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n   2 x + 1 8 x . s e n   2 x + 1 8

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