Enunciado

Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.

25. y ' ' ' + 8 y ' ' = - 6 x 2 + 9 x + 2

Passo 1

Então pessoal, como resolver esses problemas do capítulo 4.6 pelo método dos coeficientes indeterminados? Pois bem, existe uma espécie de passo a passo a ser seguida que facilita bastante nossa vida na hora da resolução. Assim como já estamos acostumados, inicialmente encontramos a equação complementar y c fazendo as substituições y ' ' ' = m 3 , y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 na nossa equação diferencial. Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' ' + 8 y ' ' = - 6 x 2 + 9 x + 2

m 3 + 8 m 2 = 0

m 2 m + 8 = 0

Então encontramos que:

m 1 = m 2 = 0

m 3 = - 8

Como temos raízes idênticas e distintas ao mesmo tempo, então teremos a seguinte solução complementar:

y c = c 1 e m 1 x + c 2 x e m 2 x + c 3 e m 3 x

y c = c 1 + c 2 x + c 3 e - 8 x

Show! Primeira etapa concluída. Guardemos esse resultado!

Passo 2

Chamando de g x o lado direito da nossa equação, então tiramos que:

g x = - 6 x 2 + 9 x + 2

Aqui chegamos em um momento determinante da nossa resolução, pois precisamos aplicar um operador diferencial que anule g x . De acordo com o que vimos na seção em questão, quando temos uma função no formato a x 2 + b x + c , o seguinte operador anula nossa função:

D n

No qual n é o expoente de x acrescido de uma unidade e D é o operador definido como D y = d y d x . No nosso caso temos n = 2 , logo nosso operador será:

D 3

Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' ' + 8 y ' ' = - 6 x 2 + 9 x + 2

D 3 y + 8 D 2 y = - 6 x 2 + 9 x + 2

D 3 + 8 D 2 y = - 6 x 2 + 9 x + 2

D 3 D 3 + 8 D 2 y = 0

E isso nos dá uma nova equação diferencial, viu só? Show de bola! (Ou não ☹)

Passo 3

Como temos uma nova equação diferencial, então vamos encontrar uma equação complementar para ela. Fazendo D 3 = m 3 ,   D 2 = m 2   e   D = m , teremos:

m 3 m 3 + 8 m 2 = 0

Note que uma parte desse produto já foi resolvido no passo 1, então as raízes são:

m 1 = m 2 = m 3 = m 4 = m 5 = 0

m 6 = - 8

Dessa forma, uma solução geral para nosso problema é o seguinte:

y = c 1 + c 2 x + c 3 e - 8 x + c 4 x 2 + c 5 x 3 + c 6 x 4

Observe que o termo c 1 + c 2 x + c 3 e - 8 x é justamente a solução complementar que encontramos lá no passo 1. Sendo assim, podemos assumir que o que restou é a nossa solução particular, não é mesmo? Logo, teremos:

y p = A x 2 + B x 3 + C x 4

Aqui vale ressaltar que A = c 4 ,   B = c 5   e   C = c 6 , beleza? Top! E então devemos encontrar y p ' ,   y p ' '   e   y p ' ' ' para substituirmos láááá na equação diferencial original para fazermos aquela análise de identidade que já estamos habituados. Sim, a resolução por esse método é bem longa!

Passo 4

Derivando nossa solução particular:

y p ' = 2 A x + 3 B x 2 + 4 C x 3

y p ' ' = 2 A + 6 B x + 12 C x 2

y p ' ' ' = 6 B + 24 C x

Substituindo na nossa equação original, teremos:

y ' ' ' + 8 y ' ' = - 6 x 2 + 9 x + 2

6 B + 24 C x + 8 2 A + 6 B x + 12 C x 2 = - 6 x 2 + 9 x + 2

6 B + 24 C x + 16 A + 48 B x + 96 C x 2 = - 6 x 2 + 9 x + 2

Como temos uma identidade isso nos dá que:

6 B + 16 A = 2 48 B + 24 C = 9 96 C = - 6

E disso tiramos:

A = 11 256

B = 7 32

C = - 1 16

Portanto temos que nossa solução geral final será:

y = c 1 + c 2 x + c 3 e - 8 x + 11 256 x 2 + 7 32 x 3 - 1 16 x 4

E essa é a nossa resolução, galera! 😉

Resposta

y = c 1 + c 2 x + c 3 e - 8 x + 11 256 x 2 + 7 32 x 3 - 1 16 x 4

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Um operador diferencial que anula e 2 x x + s e nx é __________.