Enunciado

Nos problemas 7-16, se possível, fatore o operador diferencial dado.

D 4 + 8 D

Passo 1

E aí cara, tudo bom??

Vamos lá matar esse probleminha

Queremos fatorar operadores diferenciais, ou seja, vamos decompor o termo que foi dado em um produto de fatores, blz??

Para isso, vamos encontrar as raízes: os valores de D que fazem o operador diferencial zerar

Juro que já to terminando a explicação, só mais uma coisinha hehehe

Temos que lembrar que se um polinômio tem raízes D = 1 e D = 2 , por exemplo, ele pode ser escrito como

D - 1 . ( D - 2 )

Agora e se uma das raízes for negativa? Tipo D = 1 e D = - 2 ? Aí ele pode ser escrito assim:

D - 1 . D - - 2 = D - 1 . ( D + 2 )

Agora sim, bora lá!

Passo 2

O operador diferencial aqui é

D 4 + 8 D

Vamos igualar isso a 0 para encontrarmos as raízes:

D 4 + 8 D = 0

Colocando D em evidência:

D . ( D 3 + 8 ) = 0

Então temos duas possibilidades:

D = 0                       o u                 D 3 + 8 = 0

Então já temos a primeira raíz, que é D = 0 , agora vamos encontrar as outras:

D 3 + 8 = 0

Podemos escrever assim:

D 3 + 2 3 = 0

Usando a fórmula da soma de cubos, temos:

D + 2 . D 2 - 2 D + 2 2 = 0

D + 2 . D 2 - 2 D + 4 = 0

Como D 2 - 2 D + 4 não tem raízes reais, vamos deixar ele assim mesmo ta bom?

Portanto, a fatoração fica assim:

D . D + 2 . D 2 - 2 D + 4

Resposta

D . D + 2 . D 2 - 2 D + 4

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Nos problemas 37-52, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. d 4 y d x 4 = 0 ,y 0 = 2 ,y ' 0 = 3 ,y ' ' 0 = 4 ,y ' ' ' 0 = 5
Nos problemas 37-52, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. d 4 y d x 4 - y = 0 ,y 0 = y ' 0 = y ' ' 0 = 0 , y ' ' ' 0 = 1
Nos problemas 37-52, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. y ' ' + y = 0 ,y π 3 = 0 , y ' π 3 = 2
Nos problemas 37-52, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. y ' ' ' + 12 y ' ' + 36 y ' = 0 ,y 0 = 0 , y ' 0 = 1 ,y ' ' 0 = - 7
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