Enunciado

Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.

15. y ' ' + 6 y ' + 9 y = - x e 4 x

Passo 1

Então pessoal, como resolver esses problemas do capítulo 4.6 pelo método dos coeficientes indeterminados? Pois bem, existe uma espécie de passo a passo a ser seguida que facilita bastante nossa vida na hora da resolução. Assim como já estamos acostumados, inicialmente encontramos a equação complementar y c fazendo as substituições y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 na nossa equação diferencial. Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' + 6 y ' + 9 y = - x e 4 x

m 2 + 6 m + 9 = 0

Aplicando Bháskara:

m = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

m = - 6 ± 36 - 4 . 1.9 2 . 1 = - 6 ± 0 2

Então encontramos que:

m 1 = m 2 = - 3

Como as raízes são reais e idênticas teremos a seguinte solução complementar:

y c = c 1 e m 1 x + c 2 x e m 2 x

y c = c 1 e - 3 x + c 2 x e - 3 x

Show! Primeira etapa concluída. Guardemos esse resultado!

Passo 2

Chamando de g x o lado direito da nossa equação, então tiramos que:

g x = - x e 4 x

Aqui chegamos em um momento determinante da nossa resolução, pois precisamos aplicar um operador diferencial que anule g x . De acordo com o que vimos na seção em questão, quando temos uma função no formato x e a x , o seguinte operador anula nossa função:

D - a n

No qual n é o expoente de x e D é o operador definido como D y = d y d x . No nosso caso temos a = 4 e n = 2 , logo nossos operador será:

D - 4 2

Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' + 6 y ' + 9 y = - x e 4 x

D 2 y + 6 D y + 9 y = - x e 4 x

D 2 + 6 D + 9 y = - x e 4 x

D - 4 2 D 2 + 6 D + 9 y = 0

E isso nos dá uma nova equação diferencial, viu só? Show de bola! (Ou não ☹)

Passo 3

Como temos uma nova equação diferencial, então vamos encontrar uma equação complementar para ela. Fazendo D 2 = m 2   e   D = m , teremos:

m - 4 2 m 2 + 6 m + 9 = 0

Note que uma parte desse produto já foi resolvido no passo 1, então as raízes são:

m 1 = 4

m 2 = 4

m 3 = m 4 = - 3

Dessa forma, uma solução geral para nosso problema é o seguinte:

y = c 1 e 4 x + c 2 x e 4 x + c 3 e - 3 x + c 4 x e - 3 x

Observe que o termo c 3 e - 3 x + c 4 x e - 3 x é justamente a solução complementar que encontramos lá no passo 1. Sendo assim, podemos assumir que o que restou é a nossa solução particular, não é mesmo? Logo, teremos:

y p = A x e 4 x + B e 4 x

Aqui vale ressaltar que A = c 1 e B = c 2 , beleza? Top! E então devemos encontrar y p ' e y p ' ' para substituirmos láááá na equação diferencial original para fazermos aquela análise de identidade que já estamos habituados. Sim, a resolução por esse método é bem longa!

Passo 4

Derivando nossa solução particular:

y p ' = A 1 . e 4 x + 4 x e 4 x + 4 B e 4 x

y p ' ' ' = 4 A e 4 x + 4 A 1 . e 4 x + 4 x e 4 x + 16 B e 4 x

Substituindo na nossa equação original, teremos:

y ' ' + 6 y ' + 9 y = - x e 4 x

4 A e 4 x + 4 A 1 . e 4 x + 4 x e 4 x + 16 B e 4 x + 6 A 1 . e 4 x + 4 x e 4 x + 4 B e 4 x

+ 9 A x e 4 x + B e 4 x = - x e 4 x

Como temos uma identidade isso nos dá que:

49 A = - 1 14 A + 49 B = 0

E encontramos que:

A = - 1 49

B = 2 343

Portanto temos que nossa solução geral final será:

y = - 1 49 x e 4 x + 2 343 e 4 x + c 3 e - 3 x + c 4 x e - 3 x

E essa é a nossa resolução, galera! 😉

Resposta

y = - 1 49 x e 4 x + 2 343 e 4 x + c 3 e - 3 x + c 4 x e - 3 x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.26. y ' ' ' - y ' ' + y ' - y = x e x - e - x + 7
Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.31. 16 y 4 - y = e x 2
Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.32. y 4 - 5 y ' ' + 4 y = 2 cosh ⁡ x - 6
Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.30. y 4 - 4 y ' ' ' = 5 x 2 - e 2 x
Nos problemas 41 e 42, determine a forma de uma solução particular para a equação diferencial dada.42. y ' ' + y ' = 9 - e - x + x 2 s e nx