Enunciado

Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.

11. y ' ' - 2 y ' - 3 y = 4 e x - 9

Passo 1

Então pessoal, como resolver esses problemas do capítulo 4.6 pelo método dos coeficientes indeterminados? Pois bem, existe uma espécie de passo a passo a ser seguida que facilita bastante nossa vida na hora da resolução. Assim como já estamos acostumados, inicialmente encontramos a equação complementar y c fazendo as substituições y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 na nossa equação diferencial. Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' - 2 y ' - 3 y = 4 e x - 9

m 2 - 2 m - 3 = 0

Aplicando Bháskara:

m = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

m = 2 ± 4 - 4 . 1 . - 3 2 . 1 = 2 ± 4 2

Então encontramos que:

m 1 = 2 + 4 2 = 3

m 2 = 2 - 4 2 = - 1

Como as raízes são reais e distintas teremos a seguinte solução complementar:

y c = c 1 e m 1 x + c 2 e m 2 x

y c = c 1 e 3 x + c 2 e - x

Show! Primeira etapa concluída. Guardemos esse resultado!

Passo 2

Chamando de g x o lado direito da nossa equação, então tiramos que:

g x = 4 e x - 9

Aqui chegamos em um momento determinante da nossa resolução, pois precisamos aplicar um operador diferencial que anule g x . De acordo com o que vimos na seção em questão, quando temos uma função no formato e a x , o seguinte operador anula nossa função:

D - a n

No qual n é o expoente de x e D é o operador definido como D y = d y d x . No nosso caso temos a = 1 e n = 1 , logo um dos nossos operadores será:

D - 1

E quando temos uma função no formato k , o seguinte operador anula nossa função:

D

Então nosso operador será D D - 1 . Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' - 2 y ' - 3 y = 4 e x - 9

D 2 y - 2 D y - 3 y = 4 e x - 9

D 2 - 2 D - 3 y = 4 e x - 9

D D - 1 D 2 - 2 D - 3 y = 0

E isso nos dá uma nova equação diferencial, viu só? Show de bola! (Ou não ☹)

Passo 3

Como temos uma nova equação diferencial, então vamos encontrar uma equação complementar para ela. Fazendo D 2 = m 2   e   D = m , teremos:

m m - 1 m 2 - 2 m - 3 = 0

Note que uma parte desse produto já foi resolvido no passo 1, então as raízes são:

m 1 = 0

m 2 = 1

m 3 = 3

m 4 = - 1

Dessa forma, uma solução geral para nosso problema é o seguinte:

y = c 1 + c 2 e x + c 3 e 3 x + c 4 e - x

Observe que o termo c 3 e 3 x + c 4 e - x é justamente a solução complementar que encontramos lá no passo 1. Sendo assim, podemos assumir que o que restou é a nossa solução particular, não é mesmo? Logo, teremos:

y p = A + B e x

Aqui vale ressaltar que A = c 1 e B = c 2 , beleza? Top! E então devemos encontrar y p ' e y p ' ' para substituirmos láááá na equação diferencial original para fazermos aquela análise de identidade que já estamos habituados. Sim, a resolução por esse método é bem longa!

Passo 4

Derivando nossa solução particular:

y p ' = B e x

y p ' ' = B e x

Substituindo na nossa equação original, teremos:

y ' ' - 2 y ' - 3 y = 4 e x - 9

B e x - 2 B e x - 3 A + B e x = 4 e x - 9

- 4 B e x - 3 A = 4 e x - 9

Como temos uma identidade isso nos dá que:

- 4 B = 4 - 3 A = - 9

E encontramos que:

B = - 1

A = 3

Portanto temos que nossa solução geral final será:

y = 3 - e x + c 3 e 3 x + c 4 e - x

E essa é a nossa resolução, galera! 😉

Resposta

y = c 1 + c 2 e x + c 3 e 3 x + c 4 e - x

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