Enunciado

Nos problemas 1-36, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.

d 4 y d x 4 - 7 d 2 y d x 2 - 18 y = 0

Passo 1

Oiii, vamos matar esse exercício?

Vimos nessa seção do seu livro que para resolver uma equação diferencial de n-ésima ordem, vamos usar a equação auxiliar:

a . m n + b . m n - 1 + … = 0

1) Se tivermos raízes reais e distintas a solução geral da EDO é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . e m 2 x + … + c n . e m n x

2) Se tivermos raízes reais iguais, a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . x . e m 1 x

3) Se tivermos raízes complexas conjugadas, a solução geral é y = C 1 . e α + i . β x + C 2 . e α - i . β x + …

Que podemos simplificar usando a fórmula de Euler:

e a . i = cos ⁡ a + i . s e n ( a )

e - a . i = cos ⁡ a - i . s e n ( a )

Então vamos lá??

Passo 2

Usando a equação auxiliar, vamos escrever d 4 y d x 4 - 7 d 2 y d x 2 - 18 y = 0

y ' ' ' ' - 7 y ' ' - 18 y = 0

Assim:

m 4 - 7 m 2 - 18 = 0

Temos uma equação biquadrada

Para resolver essa equação, vamos chamar u = m ² , então temos u 2 = m 4 :

u 2 - 7 u - 18 = 0

Agora vamos resolver essa equação na variável u

Temos

∆ = - 7 2 - 4 . 1 . ( - 18 ) = 121

Então nossas raízes são:

u 1 = 7 + 11 2 = 9                     u 2 = 7 - 11 2 = - 2

Agora precisamos voltar para a variável m

Passo 3

Quando resolvemos u 2 - 7 u - 18 = 0

Encontramos duas raízes reais distintas: u 1 = 9 e u 2 = - 2

Mas sabemos que u = m ² , então:

m 1 2 = 9

m 1 = ± 3

E:

m 2 2 = - 2

m 2 = ± 2 i

Então temos 4 raízes distintas: m = 3 , m = - 3 , m = 2 i , m = - 2 i

Aí a nossa solução geral fica assim:

y = c 1 . e 3 x + c 2 . e - 3 x + c 3 . e 2 i x + c 4 . e - 2 i x

Reescrevendo a parte complexa usando a fórmula de Euler:

y = c 1 . e 3 x + c 2 . e - 3 x + c 3 . cos ⁡ 2 x + i . s e n 2 x + c 4 . cos ⁡ 2 x - i . s e n 2 x

Resposta

y = c 1 . e 3 x + c 2 . e - 3 x + c 3 . cos ⁡ 2 x + i . s e n 2 x + c 4 . cos ⁡ 2 x - i . s e n 2 x

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1. Achar a solução geral de cada um das seguintes equações:a) y ' ' + y ' - 6 y = 0 b) D 2 + 2 D - 15 y = 0 c) D 3 + D 2 - 2 D y = 0 d) D 3 + 2 D 2 - 5 D - 6 y = 0 e) D 4 - 6 D 3 + 12 D 2 - 8 D y = 0
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