Enunciado

Nos problemas 1-36, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.

4 y ' ' ' + 4 y ' ' + y ' = 0

Passo 1

Oiii, vamos matar esse exercício?

Vimos nessa seção do seu livro que para resolver uma equação diferencial de n-ésima ordem, vamos usar a equação auxiliar:

a . m n + b . m n - 1 + … = 0

1) Se tivermos raízes reais e distintas a solução geral da EDO é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . e m 2 x + … + c n . e m n x

2) Se tivermos raízes reais iguais, a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . x . e m 1 x

3) Se tivermos raízes complexas conjugadas, a solução geral é y = C 1 . e α + i . β x + C 2 . e α - i . β x + …

Que podemos simplificar usando a fórmula de Euler:

e a . i = cos ⁡ a + i . s e n ( a )

e - a . i = cos ⁡ a - i . s e n ( a )

Então vamos lá??

Passo 2

Usando a equação auxiliar, vamos escrever 4 y ' ' ' + 4 y ' ' + y ' = 0

Assim:

4 m 3 + 4 m 2 + m = 0

Vamos resolver essa equação

Colocando o m em evidência:

m . 4 m 2 + 4 m + 1 = 0

A primeira raíz nós já temos, que é m 1 = 0

Para encontrarmos as outras duas raízes, vamos resolver essa equação do 2° grau:

4 m 2 + 4 m + 1

Calculando o :

∆ = 4 2 - 4.4 . 1 = 16 - 16 = 0

Então:

m 2 = m 3 = - 4 ± 0 8 = - 1 2

Portanto, temos 1 raíz distinta e 2 raízes iguais, aí a nossa solução geral fica assim:

y = c 1 . e - 1 2 x + c 2 . x . e - 1 2 x + c 3 . e 0 x

y = c 1 . e - 1 2 x + c 2 . x . e - 1 2 x + c 3

E acabamosss

Resposta

y = c 1 . e - 1 2 x + c 2 . x . e - 1 2 x + c 3

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