Enunciado

Nos problemas 61-64, determine uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes que tenham a solução dada.

62. 10 cos ⁡ 4 x ,   - 5 s e n   4 x

Passo 1

Então galera, de acordo com o que foi dado, temos que a solução geral é a seguinte:

y = 10 cos ⁡ 4 x - 5 s e n   4 x

Se lembrarmos do que foi discutido na seção em questão, notaremos que essa solução dada tem esse formato:

y = e a x . c 1 cos ⁡ b x + c 2 s e n   b x

Como esse formato envolve raízes complexas, então as raízes possuem o seguinte molde:

m 1 = a + b i

∴ m 1 = 0 + 4 i

m 2 = a - b i

∴ m 2 = 0 - 4 i

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Passo 2

Agora que conhecemos as raízes da equação característica e sabemos que essa equação tem que ser zero, então:

m 2 + 16 = 0

E vocês se lembram da substituição que fazemos para aparecer esse m ? Então, a substituição que realizamos é:

y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1

Sendo assim, nossa equação diferencial será:

y ' ' + 16 y = 0

E está aí nossa equation! 😊

Resposta

y ' ' + 16 y = 0

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Nos problemas 21-32, encontre um operador diferencial que anule a função dada e - x . s e n x - e 2 x . c o s ⁡ ( x )