Enunciado

Um marcapasso, como mostrado na Figura 3.15, consiste em uma bateria, um capacitor e o coração como resistor. Quando a chave S está em P , o capacitor é carregado; quando S está em Q , o capacitor é descarregado, enviando um impulso elétrico ao coração. Durante esse tempo, a voltagem E aplicada ao coração é dada por:

d E d t = - 1 R C E ,   t 1 < t < t 2

Em que R e C são constantes. Determine E t se E t 1 = E 0 . (É claro que a chave é aberta e fechada periodicamente para simular o batimento cardíaco natural.)

Passo 1

A equação que nos foi dada é:

d E d t = - 1 R C E

O que precisamos fazer é apenas resolver essa expressão! Para facilitar nossa visualização vamos voltar para as variáveis que estamos acostumados? Vamos chamar:

y = E

x = t

E então teremos:

d y d x = - 1 R C y

E essa equação dá pra resolver por variáveis separáveis, saca só:

d y y = - 1 R C d x

Integrando ambos os lados:

∫ d y y = - 1 R C ∫ d x

Então bora que bora resolver isso aí!

Passo 2

Para a primeira integral, teremos:

∫ d y y = ln ⁡ y + c 1

Que é o resultado mais conhecido do muuundo! Para a segunda integral:

- 1 R C ∫ d x = - 1 R C x + c 2

Logo:

ln ⁡ y + c 1 = - 1 R C x + c 2

Unindo as constantes:

ln ⁡ y = - 1 R C x + c

Simplificando:

y = e - 1 R C x . e c

y = k e - 1 R C x

Voltando para E e t , teremos:

E t = k e - 1 R C t

Show! Encontramos nossa expressão!

Passo 3

O enunciado nos dá a condição inicial E t 1 = E 0 . Aplicando o ponto, teremos:

E 0 = k e - 1 R C t 1

∴ k = E 0 e 1 R C t 1

Substituindo na nossa solução, teremos:

E t = E 0 e 1 R C t 1 e - 1 R C t

Simplificando:

E t = E 0 e t 1 - t R C

E essa é a nossa expressão, galera! 😊

Resposta

E t = E 0 e t 1 - t R C

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