Enunciado

Nos problemas 1-36, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.

y ' ' ' - 5 y ' ' + 3 y ' + 9 y = 0

Passo 1

Oiii, vamos matar esse exercício?

Vimos nessa seção do seu livro que para resolver uma equação diferencial de n-ésima ordem, vamos usar a equação auxiliar:

a . m n + b . m n - 1 + … = 0

1) Se tivermos raízes reais e distintas a solução geral da EDO é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . e m 2 x + … + c n . e m n x

2) Se tivermos raízes reais iguais, a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . x . e m 1 x

3) Se tivermos raízes complexas conjugadas, a solução geral é y = C 1 . e α + i . β x + C 2 . e α - i . β x + …

Que podemos simplificar usando a fórmula de Euler:

e a . i = cos ⁡ a + i . s e n ( a )

e - a . i = cos ⁡ a - i . s e n ( a )

Então vamos lá??

Passo 2

Usando a equação auxiliar, vamos escrever y ' ' ' - 5 y ' ' + 3 y ' + 9 y = 0

Assim:

m 3 - 5 m 2 + 3 m + 9 = 0

Vamos resolver essa equação

Os fatores de a 0 = 9 e a n = 1 , são, respectivamente

p : ± 1 ,   ± 3 ,   ± 9

q : ± 1

Então, as possíveis solução para nossa equação do 3° grau são

p q : 1 ,   - 1 ,   3 ,   - 3 ,   9 ,   - 9

Fazendo a divisão sintética, encontramos que temos duas raízes iguais em m = 3 e outra raíz em m = - 1

Então temos duas raízes iguais e uma diferente. Nossa solução vai ficar assim:

y = c 1 . e 3 x + c 2 . x . e 3 x + c 3 . e - x

E acabamosss

Resposta

y = c 1 . e 3 x + c 2 . x . e 3 x + c 3 . e - x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 7-16, se possível, fatore o operador diferencial dado. 9 D 2 - 4
Nos problemas 7-16, se possível, fatore o operador diferencial dado. D 2 - 5
Nos problemas 1-6, a equação diferencial é dada na forma L y = g ( x ) , em que L é um operador diferencial com coeficientes constantes. y ' ' ' - 4 y ' ' + 5 y ' = 4 x
Nos problemas 7-16, se possível, fatore o operador diferencial dado. D 3 + 4 D
Nos problemas 7-16, se possível, fatore o operador diferencial dado. 2 D 2 - 3 D - 2