Enunciado

Nos problemas 1-36, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.

d 4 y d x 4 - 2 d 2 y d x 2 + y = 0

Passo 1

Oiii, vamos matar esse exercício?

Vimos nessa seção do seu livro que para resolver uma equação diferencial de n-ésima ordem, vamos usar a equação auxiliar:

a . m n + b . m n - 1 + … = 0

1) Se tivermos raízes reais e distintas a solução geral da EDO é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . e m 2 x + … + c n . e m n x

2) Se tivermos raízes reais iguais, a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . x . e m 1 x

3) Se tivermos raízes complexas conjugadas, a solução geral é y = C 1 . e α + i . β x + C 2 . e α - i . β x + …

Que podemos simplificar usando a fórmula de Euler:

e a . i = cos ⁡ a + i . s e n ( a )

e - a . i = cos ⁡ a - i . s e n ( a )

Então vamos lá??

Passo 2

Usando a equação auxiliar, vamos escrever d 4 y d x 4 - 2 d 2 y d x 2 + y = 0

y ' ' ' ' - 2 y ' ' + y = 0

Assim:

m 4 - 2 m 2 + 1 = 0

Temos uma equação biquadrada

Para resolver essa equação, vamos chamar u = m ² , então temos u 2 = m 4 :

u 2 - 2 u + 1 = 0

Agora vamos resolver essa equação na variável u

Temos

∆ = - 2 2 - 4.1 . 1 = 4 - 4 = 0

Como o nosso delta deu 0, vamos ter duas raízes iguais valendo:

u 1 = - - 2 2 = 1

Agora precisamos voltar para a variável m

Passo 3

Quando resolvemos u 2 - 2 u + 1 = 0

Encontramos duas raízes reais iguais: u = 1

Mas sabemos que u = m ² , então:

m 2 = 1

m = ± 1

m = ± 1

Então na nossa equação auxiliar temos duas raízes valendo m = 1 e duas raízes valendo m = - 1

Aí a nossa solução geral fica assim:

y = c 1 . e x + c 2 . x . e x + c 3 . e - x + c 4 . x . e - x

Resposta

y = c 1 . e x + c 2 . x . e x + c 3 . e - x + c 4 . x . e - x

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