Enunciado

Nos problemas 1-36, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.

2 y ' ' + 2 y ' + y = 0

Passo 1

E aíí, vamos resolver essa equação diferencial!!

Temos uma equação diferencial de segunda ordem, então podemos usar a equação auxiliar (3) dessa seção do seu livro:

a m 2 + b m + c = 0

1) Se tivermos duas raízes reais e distintas ( m 1 e m 2 ), as soluções da EDO serão y 1 = e m 1 x e y 2 = e m 2 x , e aí a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . e m 2 x

2) Se tivermos duas raízes reais iguais, a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . x . e m 1 x

3) Se tivermos duas raízes complexas conjugadas (quando o delta é negativo sabe?), se m 1 = α + i β e m 2 = α - i β , a solução geral é y = C 1 . e α + i . β x + C 2 . e α - i . β x

Que podemos simplificar usando a fórmula de Euler:

e a . i = cos ⁡ a + i . s e n ( a )

e - a . i = cos ⁡ a - i . s e n ( a )

Então vamos lá??

Passo 2

Usando a equação auxiliar, vamos escrever 2 y ' ' + 2 y ' + y = 0

Assim:

2 m 2 + 2 m + 1 = 0

Vamos resolver essa equação

Calculando o :

∆ = ( 2 ) 2 - 4 . 2 . 1

∆ = 4 - 8 = - 4

Então:

m = - 2 ± - 4 2 . 2

m = - 2 ± - 4 4

Como temos uma raíz negativa, vamos usar os números complexos:

m = - 2 ± 4 . ( - 1 ) 4

m = - 2 ± 2 i 4

m = - 1 ± i 2

Então nossas soluções são

m 1 = - 1 + i 2                         m 2 = - 1 - i 2

Temos duas soluções complexas conjugadas, então aplicando o caso 3 lá do passo 1:

y = c 1 . e - 1 + i 2 x + c 2 . e - 1 - i 2 x

y = c 1 . e - 1 x 2 . e x 2 i + c 2 . e - 1 x 2 . e - - x 2 i

E aí podemos usar a fórmula de Euler pra simplificar:

y = e -   x 2 . c 1 . cos ⁡ x 2 + i . s e n x 2 + c 2 . cos ⁡ x 2 - i . s e n x 2

E é isso

Resposta

y = e -   x 2 . c 1 . cos ⁡ x 2 + i . s e n x 2 + c 2 . cos ⁡ x 2 - i . s e n x 2

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