Enunciado

Use as identidades:

i = 2 2 + 2 2 i 2   e - i = 2 2 - 2 2 i 2

Para resolver a equação diferencial:

d 4 y d x 4 + y = 0 .

(Sugestão: Escreva a equação auxiliar m 4 + 1 = 0 como m 2 + 1 2 - 2 m 2 = 0 . Veja o que acontece quando você fatora.)

Passo 1

Então galera, aqui o objetivo é descobrirmos quem são as raízes 4 raízes do nosso problema, já que temos uma equação diferencial de quarta ordem. A equação auxiliar que nos foi dada é a seguinte:

m 2 + 1 2 - 2 m 2 = 0

Podemos escrever isso aí da seguinte forma, galera:

m 4 + 1 = m 2 - 2 m + 1 m 2 + 2 m + 1 = 0

Disso tiramos duas possibilidades:

m 2 - 2 m + 1 = 0

Ou:

m 2 + 2 m + 1 = 0

Então bora que bora resolver isso aí!

Passo 2

A primeira possibilidade é:

m 2 - 2 m + 1 = 0

Aplicando Bháskara:

m = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

m = 2 ± 2 - 4 . 1.1 2 . 1 = 2 ± - 2 2

E então encontramos que:

m 1 = 2 2 + i 2

m 2 = 2 2 - i 2

Show!

Passo 3

A primeira possibilidade é:

m 2 + 2 m + 1 = 0

Aplicando Bháskara:

m = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

m = - 2 ± 2 - 4 . 1.1 2 . 1 = - 2 ± - 2 2

E então encontramos que:

m 3 = - 2 2 + i 2

m 4 = - 2 2 - i 2

Top!

Passo 4

Então pessoal, como as nossas 4 raízes são complexas, isso quer dizer que teremos a seguinte solução:

y = e a x . c 1 cos ⁡ b x + c 2 s e n   b x + e a x . c 3 cos ⁡ b x + c 4 s e n   b x

Vale lembrar que nossas raízes possuem o seguinte formato:

m = a ± b i

Só para identificarmos quem é a e quem é b , ok? Substituindo o que encontramos:

y = e 2 2 x c 1 cos ⁡ 1 2 x + c 2 s e n   1 2 x + e - 2 2 x c 3 cos ⁡ 1 2 x + c 4 s e n   1 2 x

E essa é a nossa solução! 😊

Resposta

y = e 2 2 x c 1 cos ⁡ 1 2 x + c 2 s e n   1 2 x + e - 2 2 x c 3 cos ⁡ 1 2 x + c 4 s e n   1 2 x

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