Enunciado

Nos problemas 1-36, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.

d 4 y d x 4 + d 3 y d x ³ + d 2 y d x ² = 0

Passo 1

Oiii, vamos matar esse exercício?

Vimos nessa seção do seu livro que para resolver uma equação diferencial de n-ésima ordem, vamos usar a equação auxiliar:

a . m n + b . m n - 1 + … = 0

1) Se tivermos raízes reais e distintas a solução geral da EDO é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . e m 2 x + … + c n . e m n x

2) Se tivermos raízes reais iguais, a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . x . e m 1 x

3) Se tivermos raízes complexas conjugadas, a solução geral é y = C 1 . e α + i . β x + C 2 . e α - i . β x + …

Que podemos simplificar usando a fórmula de Euler:

e a . i = cos ⁡ a + i . s e n ( a )

e - a . i = cos ⁡ a - i . s e n ( a )

Então vamos lá??

Passo 2

Usando a equação auxiliar, vamos escrever d 4 y d x 4 + d 3 y d x ³ + d 2 y d x ² = 0

y ' ' ' ' + y ' ' ' + y ' ' = 0

Assim:

m 4 + m 3 + m ² = 0

Para resolver essa equação, vamos aplicar a regra de potência que diz que a b + c = a b . a c

m 2 . m 2 + m 2 . m + m 2 = 0

Colocando m ² em evidência:

m 2 . m 2 + m + 1 = 0

Então já sabemos que temos duas raízes em m = 0 , porque m 2 = 0 → m = 0

Agora para encontrarmos as outras raízes, vamos resolver:

m 2 + m + 1 = 0

Passo 3

Temos que resolver essa equação para encontrar as outras raízes:

m 2 + m + 1 = 0

Calculando o :

∆ = 1 2 - 4.1 . 1 = - 3

Então:

m = - 1 ± - 3 2

m = - 1 ± 3 . ( - 1 ) 2

m = - 1 ± i 3 2

Assim, nossas duas outras raízes são

m 2 = - 1 + i 3 2                         m 3 = - 1 - i 3 2

Então temos 2 raízes iguais e 2 raízes diferentes complexas. Assim, nossa solução geral vai ser:

y = c 1 . e 0 x + c 2 . x . e 0 x + c 3 . e - 1 + i 3 2 x + c 4 . e - 1 - i 3 2 x

y = c 1 . e 0 x + c 2 . x . e 0 x + c 3 . e - x 2 e 3 i 2 x + c 4 . e - x 2 e - 3 i 2 x

Reescrevendo a parte complexa usando a fórmula de Euler:

y = c 1 . e 0 x + c 2 . x . e 0 x + e - x 2 c 3 . cos ⁡ 3 x 2 + i . s e n 3 x 2 + c 4 . cos ⁡ 3 x 2 - i . s e n 3 x 2

y = c 1 + c 2 + e - x 2 c 3 . cos ⁡ 3 x 2 + i . s e n 3 x 2 + c 4 . cos ⁡ 3 x 2 - i . s e n 3 x 2

Ufa, acabouuu

Resposta

y = c 1 + c 2 + e - x 2 c 3 . cos ⁡ 3 x 2 + i . s e n 3 x 2 + c 4 . cos ⁡ 3 x 2 - i . s e n 3 x 2

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