Enunciado

Nos problemas 1-36, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.

y ' ' ' + y ' ' - 4 y = 0

Passo 1

Oiii, vamos matar esse exercício?

Vimos nessa seção do seu livro que para resolver uma equação diferencial de n-ésima ordem, vamos usar a equação auxiliar:

a . m n + b . m n - 1 + … = 0

1) Se tivermos raízes reais e distintas a solução geral da EDO é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . e m 2 x + … + c n . e m n x

2) Se tivermos raízes reais iguais, a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . x . e m 1 x

3) Se tivermos raízes complexas conjugadas, a solução geral é y = C 1 . e α + i . β x + C 2 . e α - i . β x + …

Que podemos simplificar usando a fórmula de Euler:

e a . i = cos ⁡ a + i . s e n ( a )

e - a . i = cos ⁡ a - i . s e n ( a )

Então vamos lá??

Passo 2

Cara deixa eu te falar, o enunciado desse exercício ta errado, com sinal trocado, então era pra ser y ' ' ' - y ' ' - 4 y = 0

Agora sim vamos lá

Usando a equação auxiliar, vamos escrever y ' ' ' - y ' ' - 4 y = 0

Assim:

m 3 - m 2 - 4 = 0

Então, nossas raízes são m = 2 ,   m = - 1 2 + 7 2 i e m = - 1 2 - 7 2 i

Então temos 3 raízes distintas. Nossa solução vai ficar assim:

y = c 1 . e 2 x + c 2 . e - 1 2 + 7 2 x + c 3 . e - 1 2 - 7 2 x

y = c 1 . e 2 x + c 2 . e - x 2 . e 7 2 x i + c 3 . e - x 2 . e - 7 2 x i

Vamos reescrever a parte complexa usando a fórmula de Euler:

y = c 1 . e 2 x + e - x 2 . c 2 . cos ⁡ 7 2 x + i . s e n 7 2 x + c 3 . cos ⁡ 7 2 x - i . s e n 7 2 x

E acabamosss

Resposta

y = c 1 . e 2 x + e - x 2 . c 2 . cos ⁡ 7 2 x + i . s e n 7 2 x + c 3 . cos ⁡ 7 2 x - i . s e n 7 2 x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 21-32, encontre um operador diferencial que anule a função dada e - x + 2 x . e x - x 2 . e x
Nos problemas 21-32, encontre um operador diferencial que anule a função dada 1 + 7 e 2 x
Nos problemas 7-16, se possível, fatore o operador diferencial dado. D 3 + 4 D 2 + 3 D
Nos problemas 21-32, encontre um operador diferencial que anule a função dada 1 + s e n ( x )
Nos problemas 21-32, encontre um operador diferencial que anule a função dada 8 x - s e n x + 10 c o s ⁡ ( 5 x )