Enunciado

Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

x 2 y ' + x . ( x + 2 ) y = e x

Passo 1

Bom galera vamos lá matar mais um exercício

Temos aqui uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita no formato d y d x + A x . y = B ( x ) , olha, vamos dividir tudo por x ² :

d y d x + x x 2 . ( x + 2 ) y = e x x 2

d y d x + x + 2 x y = e x x 2         ( I )

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

y x = 1 I x ∫ I x . B x   d x + c     ( I I )

Onde I x = e ∫ A x   d x

Na nossa equação ( I ) , temos A x = x + 2 x e B x = e x x 2         então:

I x = e ∫ x + 2 x   d x

I x = e x + 2 l n ⁡ | x | = e x . e 2 ln ⁡ x = e x . x ²

Belezinha, já temos o nosso fator de integração

Passo 2

Agora que temos o fator de integração, vamos substituir o que temos na expressão ( I I ) :

y x = 1 e x . x ² ∫ e x . x ² . e x x ²   d x + c     ( I I I )

Vamos resolver a integral separadamente:

∫ e x . x 2 . e x x 2   d x = ∫ e 2 x   d x

∫ e x . x 2 . e x x 2   d x = e 2 x 2

Substituindo em ( I I I )

y x = 1 e x . x ² e 2 x 2 + c

y = e x 2 x 2 + c e x . x ²

Com:

0 < x < + ∞

Boaaa, foi mais fácil do que parecia né?

Resposta

y = e x 2 x 2 + c e x . x ²

0 < x < + ∞

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