Enunciado

Nos problemas 1-40, resolva a equação diferencial dada por separação de variável.

14. e x y d y d x = e - y + e - 2 x - y

Passo 1

Então pessoal, de início vale ressaltar que é interessantíssimo ter uma boa base de integração para resolver os problemas de equações diferenciais, tudo bem? Sendo assim, caso você não se lembre muito bem das técnicas de integração, sugiro dar uma revisada antes de iniciar o curso de equações diferenciais, belê? Show!

O exercício quer que a gente resolva a equação diferencial dada utilizando o método de separação de variáveis. Basicamente o que precisamos fazer é deixar tudo que tem x de um lado da equação e tudo que tem y do outro lado da equação e depois integrar tudo. Pareceu complicado? Bora descomplicar então!

Passo 2

A equação que nos foi dada é essa aqui:

e x y d y d x = e - y + e - 2 x - y

Precisamos urgentemente dar um jeito nessa bagunça! Antes de começarmos devemos lembrar dessa propriedade aqui ó:

a b . a c = a b + c

Aplicando a ideia ali no lado direito da nossa equação, teremos:

e x y d y d x = e - y + e - 2 x . e - y

Colocando e - y em evidência, teremos:

e x y d y d x = e - y 1 + e - 2 x

Agora sim conseguimos isolar as variáveis, se liga:

y e - y d y = 1 + e - 2 x e x d x

Simplificando o máximo possível:

y e y d y = 1 e x + e - 3 x d x

Show! Variáveis devidamente separadas. Simbora para o último passo!

Passo 3

Agora que isolamos as variáveis o próximo passo é integrar ambos os lados, se liga:

∫ y e y d y = ∫ 1 e x + e - 3 x d x

∫ y e y d y = ∫ e - x d x + ∫ e - 3 x d x

Para a integral da esquerda devemos utilizar a integração por partes, ok? Para essa integração vamos fazer as seguintes substituições:

u = y ⇒ d u = d y

d v = e y d y ⇒ v = e y

Caso você não se lembre, a fórmula da integração por partes é essa aqui ó:

u v - ∫ v d u

Como já temos todos os valores, basta substituirmos, se liga:

y e y - ∫ e y d y

Como o valor da integral já é conhecido, então teremos:

∫ y e y d y = y e y - e y + c 1

Passo 4

Para a primeira integral da direita basta fazermos uma substituição simples, se liga:

u = - x

d u = - d x

Substituindo na integral, teremos:

- ∫ e u d u = - e u + c 2

Voltando para a variável x , teremos:

∫ e - x d x = - e - x + c 2

Para a última integral vamos utilizar a mesma linha de raciocínio, só mudando a substituição, se liga:

u = - 3 x

d u = - 3 d x ⇒ - 1 3 d u = d x

Substituindo na integral, teremos:

- 1 3 ∫ e u d u = - 1 3 e u + c 3

Voltando para a variável x , teremos:

∫ e - 3 x d x = - 1 3 e - 3 x + c 3

Por fim, igualando os resultados:

y e y - e y + c 1 = - e - x + c 2 - 1 3 e - 3 x + c 3

Juntando c 1 , c 2 e c 3 teremos uma quarta constante que vamos chamar de c 4 , ok? Logo, nosso resultado será:

y e y - e y + e - x + 1 3 e - 3 x = c 4

E essa é a nossa função!

Resposta

y e y - e y + e - x + 1 3 e - 3 x = c 4

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