Enunciado

Nos problemas 1-40, resolva a equação diferencial dada por separação de variável.

25. s e c 2 x . d y + c o s s e c   y . d x = 0

Passo 1

Então pessoal, de início vale ressaltar que é interessantíssimo ter uma boa base de integração para resolver os problemas de equações diferenciais, tudo bem? Sendo assim, caso você não se lembre muito bem das técnicas de integração, sugiro dar uma revisada antes de iniciar o curso de equações diferenciais, belê? Show!

O exercício quer que a gente resolva a equação diferencial dada utilizando o método de separação de variáveis. Basicamente o que precisamos fazer é deixar tudo que tem x de um lado da equação e tudo que tem y do outro lado da equação e depois integrar tudo. Pareceu complicado? Bora descomplicar então!

Passo 2

A equação diferencial que nos foi dada é essa aqui:

s e c 2 x . d y + c o s s e c   y . d x = 0

Isolando as variáveis em cada lado da equação, teremos:

s e c 2 x . d y = - c o s s e c   y . d x

- d y c o s s e c   y = d x s e c 2 x

Show! Variáveis devidamente separadas. Simbora para o último passo!

Passo 3

Agora que isolamos as variáveis o próximo passo é integrar ambos os lados, se liga:

- ∫ d y c o s s e c   y = ∫ d x s e c 2 x

Lembrando que c o s s e c   y = 1 s e n   y e sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x , podemos substituir nas integrais desse jeito:

- ∫ s e n   y d y = ∫ c o s 2 x d x

Para a integral da esquerda basta lembrarmos da função que quando derivamos resulta em - s e n   y . Lembrando das aulinhas de derivadas, temos que o resultado é:

- ∫ s e n   y d y = cos ⁡ y + c 1

Show!

Passo 4

Já para a integral da direita temos que utilizar uma identidade trigonométrica a fim de retirar esse quadrado do cosseno. A identidade é essa aqui ó:

c o s 2 x = 1 2 1 + cos ⁡ 2 x

Substituindo na nossa integral, teremos:

1 2 ∫ ( 1 + cos ⁡ 2 x ) d x = 1 2 ∫ d x + 1 2 ∫ cos ⁡ 2 x d x

A primeira integral tem um resultado conhecidíssimo, que é:

1 2 ∫ d x = 1 2 x + c 2

Já para a segunda integral teremos que aplicar uma substituição simples. A substituição que vamos fazer será:

u = 2 x

d u = 2 d x ⇒ d u 2 = d x

Substituindo na integral, obteremos:

1 2 . 1 2 ∫ cos ⁡ u d u

E como a integral do cosseno já é tabelada:

1 2 . 1 2 ∫ cos ⁡ u d u = 1 4 s e n   u + c 3

Voltando para a variável x :

∫ c o s 2 x d x = 1 4 s e n   2 x + c 3

Passo 5

Por fim, igualando os resultados:

cos ⁡ y + c 1 = 1 2 x + c 2 + 1 4 s e n   2 x + c 3

Juntando c 1 , c 2 e c 3 teremos uma quarta constante que vamos chamar de c 4 , ok? Logo, nosso resultado será:

cos ⁡ y = 1 2 x + 1 2 s e n   2 x + c 4

E essa é a nossa função! 😉

Resposta

cos ⁡ y = 1 2 x + 1 2 s e n   2 x + c 4

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