Enunciado

Nos problemas 15-22, determine se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes em - ∞ ,   ∞ .

f 1 x = cos ⁡ 2 x ;   f 2 x = 1 ;     f 3 x = cos 2 ⁡ x

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Bom, a gente tem que ver se essas três funções são linearmente dependentes ou independentes.

Como que a gente sabe?

Se existir constantes não nulas c 1 ,   c 2 e   c 3 tal que:

c 1 f 1 + c 2 f 2 + c 3 f 3 = 0

Então elas são LD. Do contrário, são LI.

Beleza?

Vamos ver isso na nossa agora.

Passo 2

Aqui nós temos as funções:

f 1 x = cos ⁡ 2 x ;   f 2 x = 1 ;     f 3 x = cos 2 ⁡ x

Vamos lembrar de uma relação trigonométrica que é assim:

cos ⁡ 2 x = 2 cos 2 ⁡ x - 1

Então... se a gente fizer:

c 1 = 1 ;     c 2 = 1 ;     c 3 = - 2

Temos:

1 cos ⁡ 2 x - 2 cos 2 ⁡ x + 1 1 = 0

E aí vemos que elas são linearmente dependentes 😉

Resposta

Linearmente dependentes.

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Em cada um dos problemas 22 e 23, encontre o conjunto fundamental de soluções especificado pelo Teorema 3.2.5 para a equação diferencial e o ponto inicial dados.23. y ' ' + 4 y ' + 3 y = 0 , t 0 = 1 .
No método de Picard, a escolha inicial y 0 x = y 0 não é necessária. Refaça o Problema 3 com (a) y 0 x = k uma constante e k ≠ 1 e (b) y 0 x = x .
Nos Problemas 1-6, use o método de Picard para encontrar y 1 ,y 2 ,y 3,y 4 . Determine o limite da sequência { y n x } quando n → ∞ . y ' + y 2 = 0 , y 0 = 0
Nos problemas 15-22, determine se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes em - ∞ ,∞ .16. f 1 x = 0 ,f 2 x = x ,f 3 x = e x
Nos problemas 15-22, determine se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes em - ∞ ,∞ .17. f 1 x = 5 ,f 2 x = c o s 2 x ,f 3 x = s e n 2 x