Enunciado

Nos problemas 1-6, resolva a equação de Bernoulli dada.

3. d y d x = y x y 3 - 1

Passo 1

Então pessoal, esses exercícios sobre equação de Bernoulli possuem um método bem tranquilo de resolução, basta que tenhamos atenção com algumas coisinhas! Quando utilizamos o método? Sempre que tivermos uma equação diferencial do tipo:

d y d x + P . y = Q . y n

No qual n ≠ 0   e   n ≠ 1 , aplicaremos esse método. Em outras palavras, o que queremos fazer é transformar uma equação diferencial que não é linear, em uma equação diferencial LINEAR, conforme estudamos na seção passada.

O que vamos fazer é realizar uma substituição do tipo:

w = y 1 - n

Depois derivar e substituir na equação diferencial original e resolver para w , tudo bem? Show!

Ah! Vale ressaltar que depois que linearizarmos a equação diferencial, devemos utilizar a solução geral que já conhecemos, que é:

w = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais.

Por fora: po, tranquilão!

Por dentro:

Mas vamo que vamo!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

d y d x = y x y 3 - 1

Como queremos escrever a equação no formato:

d y d x + P . y = Q . y n

Teremos:

d y d x = x y 4 - y

d y d x + y = x y 4

Ok, missão cumprida! Agora fazendo a substituição:

w = y 1 - n = y 1 - 4

w = y - 3 ⇒ y = w - 1 3

Derivando em relação a x , obteremos:

d y d x = - 1 3 w - 4 3 . d w d x

Top, top!

Passo 3

Agora que já fizemos a substituição adequada e encontramos a derivada associada, vamos substituir os resultados na nossa equação diferencial original, que é:

d y d x + y = x y 4

- 1 3 w - 4 3 . d w d x + w - 1 3 = x w - 4 3

Simplificando, teremos:

- 1 3 . d w d x + w = x

d w d x - 3 w = - 3 x

E então tiramos que:

P x = - 3

Q x = - 3 x

Passo 4

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

w = e - ∫ - 3 d x . ∫ e ∫ - 3 d x . - 3 x d x + c

w = e ∫ 3 d x . - 3 ∫ e - ∫ 3 d x . x d x + c

Para a integral do expoente, teremos:

∫ 3 d x = 3 x

Substituindo:

w = e 3 x . - 3 ∫ e - 3 x . x d x + c

Agora precisamos resolver essa última integral que aparece aí na solução. Temos que:

∫ e - 3 x . x d x

Para resolver essa integral vamos utilizar integração por partes, beleza? A substituição será:

u = x ⇒ d u = d x

d v = e - 3 x d x ⇒ v = - 1 3 e - 3 x

Caso você não se lembre, a fórmula da integral por partes é:

u v - ∫ v d u

Logo:

- 1 3 x e - 3 x + 1 3 ∫ e - 3 x d u = - 1 3 x e - 3 x - 1 9 e - 3 x

Substituindo:

w = e 3 x . - 3 - 1 3 x e - 3 x - 1 9 e - 3 x + c

∴ w = e 3 x . x e - 3 x + 1 3 e - 3 x + c e 3 x

Beleza! Resolvemos as integrais e simplificamos tudo. Agora que fizemos isso vamos para o último passo (AMÉM)!

Passo 5

O resultado que encontramos está como w x e queremos o resultado como y x , certo? Lá no passo 2 a substituição que fizemos foi:

w = y - 3 ⇒ y = w - 1 3

Voltando para a variável y , teremos:

w = e 3 x . x e - 3 x + 1 3 e - 3 x + c e 3 x

y - 3 = x + 1 3 + c e 3 x

∴ y = x + 1 3 + c e 3 x - 1 3

E esse é nosso resultado! 😉

Resposta

y = x + 1 3 + c e 3 x - 1 3

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