Enunciado

Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

37. x + 2 2 d y d x = 5 - 8 y - 4 x y

Passo 1

Então pessoal, para esses problemas da seção 2.5 precisamos lembrar de algumas coisinhas, ok? Essa equação diferencial que nos foi dada é uma equação diferencial linear. O formato dessa equação é esse aqui:

d y d x + P . y = Q

No qual P e Q são funções APENAS de x . Caso a função não esteja escrita nesse formato, devemos manipular a equação a fim de deixa-la nesse formato padrão, belê? Show! O lado bom é que esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

Eu sei, parece assustador essa solução, não é? Prometo que é só impressão!

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

x + 2 2 d y d x = 5 - 8 y - 4 x y

Como queremos escrever no formato:

d y d x + P x . y = Q x

Então teremos:

x + 2 2 d y d x = 5 - 4 y 2 + x

Dividindo tudo por x + 2 2 :

d y d x + 4 2 + x y = 5 x + 2 2

E então tiramos que:

P x = 4 x + 2

Q x = 5 x + 2 2

Show!

Passo 3

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

y = e - ∫ 4 x + 2 d x . ∫ e ∫ 4 x + 2 d x . 5 x + 2 2 d x + c

Para as integrais dos expoentes, teremos:

∫ 4 x + 2 d x = 4 ∫ d x x + 2

Para resolver essa integral devemos fazer uma substituição simples, saca só:

u = x + 2

d u = d x

Substituindo, teremos:

4 ∫ d u u = 4 ln ⁡ u

Voltando para x :

4 ∫ d x x + 2 = 4 ln ⁡ x + 2

Substituindo na solução geral:

y = e - 4 ln ⁡ x + 2 . ∫ e 4 ln ⁡ x + 2 . 5 x + 2 2 d x + c

Utilizando a seguinte propriedade de logaritmos:

ln ⁡ x n = n . ln ⁡ x

Teremos:

y = e ln ⁡ x + 2 - 4 . ∫ e ln ⁡ x + 2 4 . 5 x + 2 2 d x + c

Agora utilizando essa outra propriedade de logaritmos:

e ln ⁡ x = x

Teremos:

y = 1 x + 2 4 . 5 ∫ x + 2 4 . 1 x + 2 2 d x + c

y = 1 x + 2 4 . 5 ∫ x + 2 2 d x + c

Beleza! Resolvemos as integrais dos expoentes e simplificamos tudo. Agora que fizemos isso vamos para o último passo (AMÉM)!

Passo 4

O último passo da nossa resolução consiste em, obviamente, resolver essa última integral que aparece aí para complicar nossa vida. A integral é:

∫ x + 2 2 d x

Para resolve-la devemos utilizar uma substituição simples, ok? A substituição será:

u = x + 2

d u = d x

Substituindo na integral:

∫ u 2 d u = u 3 3

Voltando para x :

∫ x + 2 2 d x = x + 2 3 3

Ok, integral resolvida!

Passo 5

Agora que resolvemos todas as integrais que aparecem no problema (EU SEI, É CANSATIVO), basta substituirmos os resultados na solução geral:

y = 1 x + 2 4 . 5 ∫ x + 2 2 d x + c

y = 1 x + 2 4 . 5 x + 2 3 3 + c

∴ y = 5 3 x + 2 + c x + 2 4

E está aí nosso resultado!

OBS: Note que omitimos a constante arbitrária c em todas as integrações que fizemos, mas isso só ocorre porque a constante já aparece na nossa solução geral, tudo bem? Se não aparecesse, precisaríamos colocar todas as constantes, mas ainda bem que não precisamos, não é? hahaha! 😉

Resposta

y = 5 3 x + 2 + c x + 2 4

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