Enunciado

Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

x + 1 d y d x + x + 2 y = 2 x . e - x

Passo 1

Bom galera vamos lá matar mais um exercício

Temos aqui uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita no formato d y d x + A x . y = B ( x ) , olha, vamos dividir tudo por x + 1

d y d x + x + 2 x + 1 y = 2 x . e - x x + 1     ( I )

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

y x = 1 I x ∫ I x . B x   d x + c     ( I I )

Onde I x = e ∫ A x   d x

Na nossa equação ( I ) , temos A x = x + 2 x + 1 e B x = 2 x . e - x x + 1 então:

I x = e ∫ x + 2 x + 1   d x

I x = x + 1 . e x

Belezinha, já temos o nosso fator de integração

Passo 2

Agora que temos o fator de integração, vamos substituir o que temos na expressão ( I I ) :

y x = 1 x + 1 . e x ∫ x + 1 . e x . 2 x . e - x x + 1   d x + c     ( I I I )

Vamos resolver a integral separadamente:

∫ x + 1 . e x . 2 x . e - x x + 1   d x = ∫ 2 x   d x

∫ x + 1 . e x . 2 x . e - x x + 1   d x = x ²

Substituindo em ( I I I )

y x = 1 x + 1 . e x x ² + c

y x = x ² x + 1 . e x + c x + 1 . e x

Com:

- 1 < x < ∞

Boaaa, foi mais fácil do que parecia né?

Resposta

y x = x ² x + 1 . e x + c x + 1 . e x

- 1 < x < ∞

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva a equação diferencial: y ' = x e x - y c o s s e c   y
Resolva a equação diferencial. y ' = e y x y
Resolva a equação diferencial. x y ' + y = x
Determine se a equação diferencial é linear. x y + x = e x y '
Determine se a equação diferencial é linear. x y ' + ln ⁡ x - x 2 y = 0
Determine se a equação diferencial é linear. y + s e n   x = x 3 y '
Resolva a equação diferencial. y ' = x y e x 2
Resolva a equação diferencial. y ' = x e y x - 2  
Uma trajetória de fase é mostrada para as populações de coelhos (C) e raposas (R).Descreva como cada população muda com o passar do tempo.Use sua descrição para fazer um esboço gro...
Os gráficos de populações de duas espécies são ilustrados. Use-os para esboçar a trajetória de fase correspondente.
Os gráficos de populações de duas espécies são ilustrados. Use-os para esboçar a trajetória de fase correspondente.
As populações de pulgões e joaninhas são modeladas pelas equações d P d t = 2 P - 0,01 P J d J d t = - 0,5 J + 0,0001 P J Calcule as soluções de equilíbrio e explique seu significa...