Enunciado

Nos problemas 17-20, verifique que o operador diferencial dado anula a função indicada.

D 2 + 64 ,   y = 2 . cos ⁡ 8 x - 5 . s e n ( 8 x )

Passo 1

Oii, vamos lá pra mais uma?

Queremos provar que o operador dado anula a função, ou seja, provar que se derivarmos a função aquela quantidade de vezes, vamos chegar em 0 , então vamos lá!!

Passo 2

Temos a função   y = 2 . cos ⁡ 8 x - 5 . s e n ( 8 x ) e o operador D 2 + 64 , então vamos lá:

( D 2 + 64 ) y = D 2 + 64 2 . cos ⁡ 8 x - 5 . s e n 8 x

Fazendo a distributiva:

D 2 + 64 y = D 2 2 . cos ⁡ 8 x - D 2 . 5 s e n 8 x + 64.2 . cos ⁡ 8 x - 320 . s e n ( 8 x )

Derivando uma vez os termos com D ² :

D 2 + 64 y = D - 16 . sen ⁡ 8 x - D . 40 c o s 8 x + 128 . cos ⁡ 8 x - 320 . s e n ( 8 x )

Derivando mais uma vez onde tem D :

D 2 + 64 y = - 128 . cos ⁡ 8 x + 320 s e n 8 x + 128 . cos ⁡ 8 x - 320 . s e n ( 8 x )

Juntando os termos:

D 2 + 64 y = 0

Opaaa, então realmente zerou, logo, ta provado!!

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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1. Achar a solução geral de cada um das seguintes equações:a) y ' ' + y ' - 6 y = 0 b) D 2 + 2 D - 15 y = 0 c) D 3 + D 2 - 2 D y = 0 d) D 3 + 2 D 2 - 5 D - 6 y = 0 e) D 4 - 6 D 3 + 12 D 2 - 8 D y = 0
5. a) Provar que as funções s e nt e cos ⁡ t são ambas soluções de y ' ' + y = 0 b) Provar também que s e nt e cos ⁡ t são linearmente independentes.c) Achar a solução geral de y ' ' + y = 0 d) Achar
6. Seja L = D 2 - 2 D + 2 .a) Provar que as funções f 1 t = e t cos ⁡ t e f 2 t = e ts e nt são soluções da equação diferencial L y = 0 .b) Provar que f 1 t e f 2 t são linearmente independentes.c) Qu
6. Seja L = D 2 - 2 D + 2 .a) Provar que as funções f 1 t = e t cos ⁡ t e f 2 t = e ts e nt são soluções da equação diferencial L y = 0 .b) Provar que f 1 t e f 2 t são linearmente independentes.c) Qu
6. Seja L = D 2 - 2 D + 2 .a) Provar que as funções f 1 t = e t cos ⁡ t e f 2 t = e ts e nt são soluções da equação diferencial L y = 0 .b) Provar que f 1 t e f 2 t são linearmente independentes.c) Qu