Enunciado

Nos problemas 1-40, resolva a equação diferencial dada por separação de variável.

15. 4 y + y x 2 d y = 2 x + x y 2 d x

Passo 1

Então pessoal, de início vale ressaltar que é interessantíssimo ter uma boa base de integração para resolver os problemas de equações diferenciais, tudo bem? Sendo assim, caso você não se lembre muito bem das técnicas de integração, sugiro dar uma revisada antes de iniciar o curso de equações diferenciais, belê? Show!

O exercício quer que a gente resolva a equação diferencial dada utilizando o método de separação de variáveis. Basicamente o que precisamos fazer é deixar tudo que tem x de um lado da equação e tudo que tem y do outro lado da equação e depois integrar tudo. Pareceu complicado? Bora descomplicar então!

Passo 2

A equação diferencial que nos foi dada é essa aqui:

4 y + y x 2 d y = 2 x + x y 2 d x

O que vamos fazer aqui para poder separar as nossas variáveis é o seguinte: vamos colocar y em evidência na esquerda e x em evidência na direita, saca só:

y 4 + x 2 d y = x 2 + y 2 d x

Agora sim conseguimos separar as variáveis:

y 2 + y 2 d y = x 4 + x 2 d x

Show! Variáveis devidamente separadas. Simbora para o último passo!

Passo 3

Agora que isolamos as variáveis o próximo passo é integrar ambos os lados, se liga:

∫ y 2 + y 2 d y = ∫ x 4 + x 2 d x

Para resolvermos ambas integrais vamos fazer as mesmas substituições, mas com as variáveis trocadas, claro. Para a integral da esquerda vamos fazer uma substituição simples da seguinte maneira:

u = 2 + y 2

d u = 2 y d y ⇒ 1 2 d u = y d y

Substituindo na integral, teremos:

1 2 ∫ d u u

E como esse resultado já é conhecido e tabelado, teremos:

1 2 ∫ d u u = 1 2 ln ⁡ u + c 1

Voltando à variável y :

∫ y 2 + y 2 d y = 1 2 ln ⁡ 2 + y 2 + c 1

Para a integral da direita vamos fazer a mesma substituição simples, saca só:

u = 4 + x 2

d u = 2 x d x ⇒ 1 2 d u = x d x

Substituindo na integral, teremos:

1 2 ∫ d u u

E como esse resultado já é conhecido e tabelado, teremos:

1 2 ∫ d u u = 1 2 ln ⁡ u + c 2

Voltando à variável x :

∫ x 4 + x 2 d x = 1 2 ln ⁡ 4 + x 2 + c 2

Show!

Passo 4

Por fim, igualando os resultados:

1 2 ln ⁡ 2 + y 2 + c 1 = 1 2 ln ⁡ 4 + x 2 + c 2

Juntando c 1 com c 2 teremos uma terceira constante que vamos chamar de c 3 , ok? Logo, nosso resultado será:

ln ⁡ 2 + y 2 = ln ⁡ 4 + x 2 + c 3

E essa é a nossa função!

Resposta

ln ⁡ 2 + y 2 = ln ⁡ 4 + x 2 + c 3

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Resolva. d v d t = v 2 - v