Enunciado

Verifique que uma família a um parâmetro de soluções para

y = x y ' + 1 + y ' 2   é   y = c x + 1 + c 2

Mostre que a relação x 2 + y 2 = 1 define uma solução singular para a equação no intervalo ( - 1,1 ) .

Passo 1

E aí, tudo bem?

A gente tem que verificar que y = c x + 1 + c 2 é uma solução para a equação y = x y ' + 1 + y ' 2 . Pra isso, vamos calcular a derivada de y = c x + 1 + c 2 :

y ' = c

Show, agora a gente substitui isso na equação:

y = x y ' + 1 + y ' 2

y = x c + 1 + c 2

y = c x + 1 + c 2

Que é exatamente a primeira equação, logo, vimos que é essa família é solução da equação!

Passo 2

Agora a gente tem que verificar que x 2 + y 2 = 1 é solução da equação também. Vamos derivar implicitamente pra encontrar y ' :

2 x   d x + 2 y   d y = 0

2 y   d y =   - 2 x   d x

d y d x =   - x y = y '

Beleza, agora vamos substituir isso na equação:

y = x y ' + 1 + y ' 2

y = x   - x y + 1 + - x y 2

y = - x 2 y + 1 + x 2 y 2

y = - x 2 y + y 2 + x 2 y 2

Como x 2 + y 2 = 1 ...

y = - 1 - y 2 y + 1 y 2

y = - 1 + y 2 y + 1 y

y = y 2 y

y = y

E assim vimos que a relação é solução da equação!

Resposta

São soluções.

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