Enunciado

Nos problemas 17-22, encontre duas soluções linearmente independentes para cada equação.

18. 2xy’’+y’+y = 0

Passo 1

Como sabemos, podemos realizar a substituição com y = ∑ n = 0 ∞ c n x n + r . Substituindo na equação diferencial, teremos:

2 x y ’ ’ + y ’ + y = 2 r 2 - r c 0 x r - 1 + ∑ k = 1 ∞ 2 k + r k + r - 1 c k + k + r c k + c k - 1 x k + r - 1 = 0

Com a implicação de que 2 r ² - r = r ( 2 r - 1 ) = 0 e k + r 2 k + 2 r - 1 c k + c k - 1 = 0 .

Passo 2

Após encontrarmos as equações, podemos encontrar as raízes r pela resolução da equação, chegando em r=0 e r=1/2.

Para r=0, temos:

c k = - c k - 1 k ( 2 k - 1 ) ,   c o m   k = 1,2 , 3 , … , então, temos:

c 1 = - c 0 ,   c 2 = 1 6 c 0 ,   c 3 = - 1 90 c 0 .

Passo 3

Para r= 1/2, temos:

c k = - c k - 1 k ( 2 k + 1 ) ,   c o m   k = 1,2 , 3 , … , então, temos:

c 1 = - 1 3 c 0 ,   c 2 = 1 30 c 0 ,   c 3 = - 1 630 c 0 .

Passo 4

Assim, conseguimos encontrar as duas soluções independentes, que são:

y 1 = C 1 x 1 - x + 1 6 x 2 - 1 90 x 3 + …

E

y 2 = C 2 x 1 2 1 - 1 3 x - 1 30 x 2 - 1 630 x 3 + … .  

Resposta

Assim, concluímos que y 1 = C 1 x 1 - x + 1 6 x 2 - 1 90 x 3 + … e y 2 = C 2 x 1 2 1 - 1 3 x - 1 30 x 2 - 1 630 x 3 + … .    

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