Enunciado

Nos problemas 17-22, encontre duas soluções linearmente independentes para cada equação.

19. x(1-x)y’’ - 2y’ + y = 0

Passo 1

Como sabemos, podemos realizar a substituição com y = ∑ n = 0 ∞ c n x n + r . Substituindo na equação diferencial, teremos:

x 1 - x y ' ' - 2 y ' + y = r 2 - 3 r c 0 x r - 1 + ∑ k = 1 ∞ k + r k + r - 1 c k - 2 k + r c k - k + r - 1 k + r - 2 c k - 1 + c k - 1 x k + r - 1 = 0

Com a implicação de que r ² - 3 r = r ( r - 3 ) = 0 e k + r k + r - 3 c k - [ k + r - 1 k + r - 2 - 1 ] c k - 1 = 0 .

Passo 2

Após encontrarmos as equações, podemos encontrar as raízes r pela resolução da equação, chegando em r=3 e r=0.

Para r=3, temos:

c k = ( k 2 + 3 k + 1 ) c k - 1 k ( k + 3 ) ,   c o m   k = 1,2 , 3 , … , então, temos:

c 1 = 5 4 c 0 ,   c 2 = 11 8 c 0 ,   c 3 = 209 144 c 0 .

Passo 3

Assim, uma solução é:

y 1 = C 0 x ³ 1 + 5 4 x + 11 8 x 2 + 209 144 x 3 + …

Passo 4

Uma segunda solução, é:

y 2 = y 1 ∫ e ∫ 2 x 1 - x d x y 1 ²   d x = y 1 ∫ x 2 d x 1 - x 2 x 6 1 + 5 2 x + 69 16 x 2 + 913 144 x 3 + …  

= y 1 ∫ d x x 4 1 - 2 x + x 2 1 + 5 2 x + 69 16 x 2 + 913 144 x 3 + …

= y 1 ∫ d x x 4 1 + 1 2 x + 5 16 x 2 + 31 144 x 3 + …

= y 1 ∫ 1 x 4 1 - 1 2 x - 1 16 x 2 - 1 36 x 3 - … d x

= y 1 ∫ 1 x 4 - 1 2 x 3 - 1 16 x 2 - 1 36 x - … d x

= y 1 - 1 3 x 3 + 1 4 x 2 + 1 16 x - 1 36 l n x + …

= - 1 36 y 1 l n x +   y 1 - 1 3 x 3 + 1 4 x 2 + 1 16 x + … .

Resposta

Assim, concluímos que y 1 = C 0 x ³ 1 + 5 4 x + 11 8 x 2 + 209 144 x 3 + … e y 2 = - 1 36 y 1 l n x +   y 1 - 1 3 x 3 + 1 4 x 2 + 1 16 x + … .    

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