Enunciado

Nos problemas 17-22, encontre duas soluções linearmente independentes para cada equação.

17. 2x²y’’+xy’-(x+1)y = 0

Passo 1

Como sabemos, podemos realizar a substituição com y = ∑ n = 0 ∞ c n x n + r . Substituindo na equação diferencial, teremos:

2 x ² y ’ ’ + x y ’ - ( x + 1 ) y = 2 r 2 - r - 1 c 0 x r + ∑ k = 1 ∞ 2 k + r k + r - 1 c k + k + r c k - c k - c k - 1 x k = 0

Com a implicação de que 2 r ² - r - 1 = ( 2 r + 1 ) ( r - 1 ) = 0 e k + r 2 k + 2 r - 1 - 1 c k - c k - 1 = 0 .

Passo 2

Após encontrarmos as equações, podemos encontrar as raízes r pela resolução da equação, chegando em r=1 e r=-1/2.

Para r=1, temos:

c k = c k - 1 k ( 2 k + 3 ) ,   c o m   k = 1,2 , 3 , … , então, temos:

c 1 = 1 5 c 0 ,   c 2 = 1 70 c 0 ,   c 3 = 1 1,890 c 0 .

Passo 3

Para r= -1/2, temos:

c k = c k - 1 k ( 2 k - 3 ) ,   c o m   k = 1,2 , 3 , … , então, temos:

c 1 = - c 0 ,   c 2 = - 1 2 c 0 ,   c 3 = - 1 18 c 0 .

Passo 4

Assim, conseguimos encontrar as duas soluções independentes, que são:

y 1 = C 1 x 1 + 1 5 x + 1 70 x ² + 1 1,890 x ³ + …

E

y 2 = C 2 x - 1 2 1 - x - 1 2 x 2 - 1 18 x 3 - … .  

Resposta

Assim, concluímos que y 1 = C 1 x 1 + 1 5 x + 1 70 x ² + 1 1,890 x ³ + … e y 2 = C 2 x - 1 2 1 - x - 1 2 x 2 - 1 18 x 3 - … .  

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