Enunciado

Nos problemas 21 e 22, suponha L - 1 F s = f ( t ) . Encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.

s s ² + 4 F ( s )

Passo 1

Bora lááá pra mais uma de Laplace

Temos

s s ² + 4 F ( s )

Onde F s = L { f t }

Tenho que te falar uma coisa, mas antes vamos chamar:

s s ² + 4 = G ( s )

g ( t ) = L - 1 { G s }

Agora sim, deixa eu te lembrar uma coisa: quando temos multiplicação no domínio s , isso representa uma convolução no domínio t

Então, a nossa transformada inversa vai ser:

L - 1 s s ² + 4 F s = g t * f ( t )

Sacou? Então vamo que vamo

Passo 2

Pra começar, temos que encontrar o g ( t ) , para isso, vamos fazer a transformada inversa de G ( s ) :

g ( t ) = L - 1 { G s }

g ( t ) = L - 1 s s ² + 4

Usando o teorema 7.3 do seu livro:

g t = c o s ⁡ ( 2 t )

Agora vamos em frente

Passo 3

Queremos encontrar:

L - 1 s s ² + 4 F s = g t * f ( t )

Mas já sabemos que g t = c o s ⁡ ( 2 t ) , então:

L - 1 s s ² + 4 F s = c o s ⁡ ( 2 t ) * f ( t )

Pela fórmula de convolução:

L - 1 s s ² + 4 F s = ∫ 0 t f τ . cos ⁡ 2 t - τ d τ

E fimmm!

Resposta

L - 1 s s ² + 4 F s = ∫ 0 t f τ . cos ⁡ 2 t - τ d τ

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