Enunciado

Encontre a transformada de Laplace inversa da função dada usando o teorema sobre a convolução:

F s = G ( s ) s 2 + 1

Passo 1

Antes de resolver o problema vamos relembrar o que é o teorema sobre a convolução. Ele diz que:

Se existem G s = L g ( t ) e H s = L h ( t ) para s > a ≥ 0 , e

F s = G s H s = L f ( t )

Então

f t = ∫ 0 t g t - τ h τ d τ

e h ( t ) é conhecida como a convolução de f ( t ) e g ( t ) .

Vamos então tentar separar a função F ( s ) em duas transformadas conhecidas G ( s ) e H ( s ) ; calcular as transformadas inversas de G ( s ) e H ( s ) para encontrar g ( t ) e h ( t ) ; no final, vamos aplicar o teorema de convolução para obter f ( t ) . Vamos lá???

Passo 2

A equação dada é:

F s = G ( s ) s 2 + 1

F s = G ( s ) x 1 ( s 2 + 1 )

F s = G s x H ( s )

Pela tabela 6.2.1 do livro:

Para H s = a s 2 + a 2 → h t = cos ⁡ a t . Então, para o nosso problema:

G s → g t = L - 1 G s

H s = a ( s 2 + 4 ) → a = 1 → h t = sen ⁡ t

Passo 3

Agora que encontramos g ( t ) e h ( t ) podemos aplicar o teorema sobre a convolução:

f t = ∫ 0 t g t - τ h τ d τ

f t = ∫ 0 t g t - τ s en ⁡ τ d τ

Resposta

A transformada inversa da função dada é f t = ∫ 0 t g t - τ sen ⁡ τ d τ .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 31-38, use o teorema 7.10 para encontrar a transformada de Laplace da função periódica dada. o n d as e n o i d a ls e m ir e t i f i c a d a
Nos problemas 7-20, encontre a transformada de Laplace da função dada sem resolver a integral. L { 1 * e - 2 t }
Nos problemas 31-38, use o teorema 7.10 para encontrar a transformada de Laplace da função periódica dada. f t = s e n ( t ) f t + 2 π = f ( t )
Nos problemas 7-20, encontre a transformada de Laplace da função dada sem resolver a integral. L { e 2 t * s e n ⁡ ( t ) }
Nos problemas 31-38, use o teorema 7.10 para encontrar a transformada de Laplace da função periódica dada. o n d as e n o i d a lr e t i f i c a d a