Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 10:

(a) Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em x   =   0 .

(b) Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.

(c) Encontre a solução em série ( x   >   0 )   correspondente à maior raiz.

(d) Se as raízes forem diferentes e não diferirem por um inteiro, encontre também a solução em série correspondente à menor raiz.

2)

x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - 1 9 y = 0

Passo 1

b) Para determinara a equação indicial, e a relação de recorrência das raízes da equação. Vamos aplicar o devidos somatórios a equação diferencial:

Assumiremos que y é uma solução que pode ser escrita desta forma:

y = ∑ n = 0 ∞ a n x r + n

Aplicando a primeira derivada na solução y :

y ' = ∑ n = 0 ∞ r + n a n x r + n - 1

Aplicando a segunda derivada na solução y :

y ' ' = ∑ n = 0 ∞ r + n r + n - 1 a n x r + n - 2

Passo 2

Agora que temos a soluções y escritas na forma de somatórios podemos substituir na equação diferencial e assim simplificando ao máximo teremos a equação indicial.

Substituindo:

x 2 ∙ ∑ n = 0 ∞ r + n r + n - 1 a n x r + n - 2 + x ∙ ∑ n = 0 ∞ r + n a n x r + n - 1 + x 2 - 1 9 ∑ n = 0 ∞ a n x r + n = 0

Multiplicando pelos fatores que corresponde ao somatório, temos:

∑ n = 0 ∞ r + n r + n - 1 a n x r + n + ∑ n = 0 ∞ r + n a n x r + n + ∑ n = 0 ∞ a n x r + n + 2 - 1 9 ∑ n = 0 ∞ a n x r + n = 0

Agora ajustamos o índice do terceiro somatório para que x nesse somatório também tenha o expoente r   +   n .

∑ n = 0 ∞ r + n r + n - 1 a n x r + n + ∑ n = 0 ∞ r + n a n x r + n + ∑ n = 2 ∞ a n x r + n + 2 - 1 9 ∑ n = 0 ∞ a n x r + n =

Avaliando nossos termos, temos que todos os somatórios começarão em n = 2 , temos:

r r - 1 a 0 x r + r + 1 r a 1 x r + 1   + ∑ n = 2 ∞ r + n r + n - 1 a n x r + n + r a 0 x r + r + 1 ∙

a 1 x r + 1 + ∑ n = 2 ∞ r + n a n x r + n + ∑ n = 0 ∞ a n - 2 x r + n - 1 9 a 0 x r - 1 9 a 1 x r + 1 - 1 9 ∑ n = 2 ∞ a n x r + n = 0

Combinando os temos:

r r - 1 + r - 1 9 a 0   x r + r + 1 r + r + 1 - 1 9 a 1   x r + 1

+ ∑ n = 2 ∞   r + n r + n - 1 + r + n - 1 9 a n + a n - 2 x r + n = 0

Simplificando:

r - 1 9 a 0 x r + r + 1 2 - 1 9 a 1 x r + 1 + ∑ n = 2 ∞ r + n 2 - 1 9 a n + a n - 2 x r + n = 0

Igualando os coeficientes dos dois lados temos:

r - 1 9 a 0 = 0

r + 1 2 - 1 9 a 1 = 0

r + n 2 - 1 9 a n + a n - 2 = 0

Passo 3

Como obtemos nossa equações de cada coeficiente, agora é possível determinar a equação indicial e as raízes indiciais:

r - 1 9 a 0 = 0

r + 1 2 - 1 9 a 1 = 0

r + n 2 - 1 9 a n + a n - 2 = 0

Desde que a 0 ≠ 0 , teremos nossa equação indicial:

r 2 - 1 9 = r - 1 3 r + 1 3 = 0

Teremos as raízes:

r 1,2   = ± 1 3

Tenso as raízes isto implica que:

a 1 = 0

r i + n 2 - 1 9 a n + a n - 2 = 0 ,       i = 1,2   ∀ n ∈ N ,   n ≥ 2

Resposta

Equação indicia:

  r - 1 3 r + 1 3 = 0

Raízes: r 1,2   = ± 1 3

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