Enunciado

Nos problemas 23-34, mostre que as raízes indiciais diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno da singularidade regular x 0 = 0 . Encontre a solução geral em ( 0 ,   ∞ ) .

x y ' ' + ( 1 - x ) y ' - y = 0

Passo 1

E aí meu colega, bora lá?

Vamos utilizar y = ∑ n = 0 ∞ c n x n + r na nossa equação diferencial:

x y ' ' + ( 1 - x ) y ' - y = r ² c 0 x r - 1 + ∑ k = 0 ∞ k + r k + r - 1 c k + k + r c k - k + r c k - 1 x k + r - 1 = 0

Igualando os termos dos dois lados, temos

r 2 = 0

k + r 2 c k - k + r c k - 1 = 0

Assim, as nossas raízes indiciais são r = 0

Passo 2

Temos as raízes indiciais r = 0

E aí temos

c k = c k - 1 k ,   k = 1 , 2,3 , 4 …

Então, nossa solução geral é

y = c 0 . 1 + x + 1 2 x 2 + 1 3 ! x ³ + …

Resposta

y = c 0 . 1 + x + 1 2 x 2 + 1 3 ! x ³ + …

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