Enunciado

Nos Problemas 28-33, use a relação de recorrência dada no Problema 21 e os resultados obtidos no Problema 27 e no Exemplo 4 para expressar a função de Besse pedida em termos de sen ⁡ x , cos ⁡ x   e   potências de x .

J 7 2 ( x )

Passo 1

E aí, tudo bem?

Bom, pelo Problema 21, nós temos:

5   J 5 2 x = x   J 7 2 x + x   J 3 2 ( x )

J 7 2 x = 5 x J 5 2 x - J 3 2 ( x )

Beleza, agora segundo questão 28:

J 3 2 x = 2 π x sen ⁡ x x - cos ⁡ x

Passo 2

E achamos no exercício 30 que:

J 5 2 x = 2 π x 3 sen ⁡ x x 2 - 3 cos ⁡ x x - sen ⁡ x

Então...

5 x J 5 2 x = 5 x 2 π x 3 sen ⁡ x x 2 - 3 cos ⁡ x x - sen ⁡ x

E substituindo na relação que a gente precisa...

J 7 2 x = 5 x J 5 2 x - J 3 2 ( x )

J 7 2 x = 5 x 2 π x 3 sen ⁡ x x 2 - 3 cos ⁡ x x - sen ⁡ x - 2 π x sen ⁡ x x - cos ⁡ x

J 7 2 x = 2 π x   15 sen ⁡ x x 3 - 15 cos ⁡ x x 2 - 5 sen ⁡ x x - sen ⁡ x x + cos ⁡ x  

J 7 2 x = 2 π x   15 sen ⁡ x x 3 - 15 cos ⁡ x x 2 - 6 sen ⁡ x x + cos ⁡ x

E prontinho! 😉

Resposta

J 7 2 x = 2 π x   15 sen ⁡ x x 3 - 15 cos ⁡ x x 2 - 6 sen ⁡ x x + cos ⁡ x

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2. Encontre a solução de u x ,y da equação de Laplace no retângulo 0xa , 0yb , que satisfaz as condições de contorno u 0 ,y = 0 , u a ,y = 0 , 0yb , u x , 0 = h x , u x ,b = 0 , 0 ≤ x ≤ a .
Use o problema 43 para mostrar que P n 1 = 1eP n - 1 = - 1 n
Use explicitamente os polinômios de Legendre P0(x), P1(x), P2(x) e P3(x) para calcular ∫ - 1 1 P n 2 x d x ,n = 0 ,1 ,2e3 . Generalize o resultado.
Use a relação de recorrência e P0(x)=1, P1(x)=x para os próximos cinco polinômios de Legendre.
a) Use as equações explícitas y1(x) e y2(x) da equação de Legendre e escolhas apropriadas de c0 e c1 para encontrar os polinômios de Legendre P6 (x) e P7(x). b) Escreva as equações diferenciais explíc