Use o problema 43 para mostrar que Pn(1) = 1 e Pn(-1) = (-1)^n

Passo 1

Lembrando a equação anterior, nós temos 1 + t 2 - 2 x t - 1 2 . Agora, vamos substituir x=1 nessa equação:

p/ x=1,

1 + t 2 - 2 * 1 * t - 1 2 = 1 + t 2 - 2 t - 1 2   = 1 - t - 1 = 1 1 - t = 1 + t + t ² + t ³ + … /   t < 1 )

Logo, concluímos aqui que

  1 + t 2 - 2 * 1 * t - 1 2 =   ∑ n = 0 ∞ t n .

Passo 2

Como o problema nos falou, vamos utilizar o problema 43 para encontrar o desejado! Do problema 43 nós temos:

∑ n = 0 ∞ P n 1 t n = 1 + t 2 - 2 t - 1 2 =   ∑ n = 0 ∞ t n .

Equacionando os coeficientes que correspondem aos termos nas duas séries, vemos que p polinômio de grau n e x valendo 1, será igual a 1. O mesmo ocorrerá para x igual a -1,ou seja,

1 + t 2 - 2 t - 1 2 = 1 + t - 1 = 1 1 + t = 1 - t + t 2 - t 3 + … ( t < 1 )

Logo, temos que:

∑ n = 0 ∞ P n - 1 t n =   ∑ n = 0 ∞ - 1 n t n     ,

Assim, provamos que P n 1 = 1   e   P n - 1 = - 1 n .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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