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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.5 - Ex. 44

Use o problema 43 para mostrar que P_n (1) = 1 e P_n (- 1) = (- 1)^n

Passo 1

Lembrando a equação anterior, nós temos [1 + (t^2 - 2 x t)]^(- (1)/(2)) . Agora, vamos substituir x=1 nessa equação:

p/ x=1,

[1 + (t^2 - 2 * 1 * t)]^(- (1)/(2)) = [1 + t^2 - 2 t]^(- (1)/(2) ) = (1 - t)^(- 1) = (1)/(1 - t) = 1 + t + t ² + t ³ + ... // |t| < 1 )

Logo, concluímos aqui que

[1 + (t^2 - 2 * 1 * t)]^(- (1)/(2)) = sum_(n = 0)^(oo) t^n .

Passo 2

Como o problema nos falou, vamos utilizar o problema 43 para encontrar o desejado! Do problema 43 nós temos:

sum_(n = 0)^(oo) P_n (1) t^n = [1 + (t^2 - 2 t)]^(- (1)/(2)) = sum_(n = 0)^(oo) t^n .

Equacionando os coeficientes que correspondem aos termos nas duas séries, vemos que p polinômio de grau n e x valendo 1, será igual a 1. O mesmo ocorrerá para x igual a -1,ou seja,

[1 + (t^2 - 2 t)]^(- (1)/(2)) = (1 + t)^(- 1) = (1)/(1 + t) = 1 - t + t^2 - t^3 + ... ( |t| < 1 )

Logo, temos que:

sum_(n = 0)^(oo) P_n (- 1) t^n = sum_(n = 0)^(oo) (- 1)^n t^n ,

Assim, provamos que P_n (1) = 1 e P_n (- 1) = (- 1)^n .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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