Enunciado

Nos problemas 29-36, use a transformada de Laplace para resolver a equação dada

∫ 0 t f τ f ⁡ t - τ d τ = 6 t ³

Passo 1

Vamo que vamo

Temos essa equação:

∫ 0 t f τ f ⁡ t - τ d τ = 6 t ³

E para encontrar f ( t ) , vamos usar a transformada de Laplace ta bom, então o passo a passo é: fazer a transformada da equação inteira, isolar Y ( s ) e fazer a transformada inversa do que encontrarmos, fechou?

Ah, só pra lembrar, aqui tem algumas transformadas que podemos utilizar:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

L δ ( t + k ) = e k s

E também pode ser útil a propriedade de translação:

L e α . f t = F ( s - α )

Agora bora lá!

Passo 2

Vamos fazer a transformada da equação:

∫ 0 t f τ f ⁡ t - τ d τ = 6 t ³

O termo ∫ 0 t f τ f ⁡ t - τ d τ representa a convolução de f ⁡ ( t ) com ele mesmo no domínio t , e isso é equivalente à multiplicação no domínio s . Então

F s 2 = 6 . 6 s 4

Então:

F s = ± 36 s 4

F s = ± 6 s 2

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso, beleza?

Passo 3

Temos

F s = ± 6 1 s 2

Então podemos escrever:

f t = ± 6 . t

Showww, vamos pros próximos!!

Resposta

f t = ± 6 . t

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