Enunciado

Nos problemas 33-40, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.

38. y ' ' ' - 2 y ' ' + y ' = x e x + 5 ,   y 0 = 2 ,   y ' 0 = 2 ,   y ' ' 0 = - 1

Passo 1

Então pessoal, como resolver esses problemas do capítulo 4.6 pelo método dos coeficientes indeterminados? Pois bem, existe uma espécie de passo a passo a ser seguida que facilita bastante nossa vida na hora da resolução. Assim como já estamos acostumados, inicialmente encontramos a equação complementar y c fazendo as substituições y ' ' ' = m 3 , y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 na nossa equação diferencial. Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' ' - 2 y ' ' + y ' = x e x + 5

m 3 - 2 m 2 + m = 0

Colocando m em evidência:

m m 2 - 2 m + 1 = 0

Aplicando Bháskara no segundo membro, teremos:

m = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

m = 2 ± 4 - 4 . 1.1 2 . 1 = 2 ± 0 2

E então encontramos que:

m 1 = 0

m 2 = m 3 = 1

Como temos raízes idênticas e distintas ao mesmo tempo teremos a seguinte solução complementar:

y c = c 1 e m 1 x + c 2 e m 2 x + c 3 x e m 3 x

y c = c 1 + c 2 e x + c 3 x e x

Show! Primeira etapa concluída. Guardemos esse resultado!

Passo 2

Chamando de g x o lado direito da nossa equação, então tiramos que:

g x = x e x + 5

Aqui chegamos em um momento determinante da nossa resolução, pois precisamos aplicar um operador diferencial que anule g x . De acordo com o que vimos na seção em questão, quando temos uma função no formato x n - 1 e a x o seguinte operador anula nossa função:

D - a n

No qual n é o expoente de x acrescido de uma unidade, D é o operador definido como D y = d y d x e a é a constante que acompanha x no expoente. No nosso caso temos n = 2 e a = 1 , logo nosso primeiro operador será:

D - 1 2

E, por fim, quando temos uma função no formato k o seguinte operador anula nossa função:

D

Dessa forma nosso operador completo será D D - 1 2 . Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' ' - 2 y ' ' + y ' = x e x + 5

D 3 y - 2 D 2 y + D y = x e x + 5

D 3 - 2 D 2 + D y = x e x + 5

D D - 1 2 D 3 - 2 D 2 + D y = 0

E isso nos dá uma nova equação diferencial, viu só? Show de bola! (Ou não ☹)

Passo 3

Como temos uma nova equação diferencial, então vamos encontrar uma equação complementar para ela. Fazendo D 3 = m 3 ,   D 2 = m 2   e   D = m , teremos:

m m - 1 2 m 3 - 2 m 2 + m = 0

Note que uma parte desse produto já foi resolvido no passo 1, então as raízes são:

m 1 = m 2 = 0

m 3 = m 4 = m 5 = m 6 = 1

Dessa forma, conforme vimos no capítulo inteeeeiro, uma solução geral para nosso problema será a seguinte:

y = c 1 + c 2 e x + c 3 x e x + c 4 x + c 5 x 2 e x + c 6 x 3 e x

Observe que o termo c 1 + c 2 e x + c 3 x e x é justamente a solução complementar que encontramos lá no passo 1. Sendo assim, podemos assumir que o que restou é a nossa solução particular, não é mesmo? Logo, teremos:

y p = A x + B x 2 e x + C x 3 e x

Aqui vale ressaltar que A = c 4 ,   B = c 5   e   C = c 6 , beleza? Top! E então devemos encontrar y p ' ,   y p ' '   e   y p ' ' ' para substituirmos láááá na equação diferencial original para fazermos aquela análise de identidade que já estamos habituados. Sim, a resolução por esse método é bem longa!

Passo 4

Derivando nossa solução particular:

y p ' = A + B 2 x e x + x 2 e x + C 3 x 2 e x + x 3 e x

y p ' ' = 2 B e x + x e x + B 2 x e x + x 2 e x + 3 C 2 x e x + x 2 e x + C 3 x 2 e x + x 3 e x

y p ' ' ' = 2 B e x + 2 B e x + x e x + 2 B e x + x e x + B 2 x e x + x 2 e x + 6 C e x + x e x

+ 3 C 2 x e x + x 2 e x + 3 C 2 x e x + x 2 e x + C 3 x 2 e x + x 3 e x

Substituindo na nossa equação original, teremos:

y ' ' ' - 2 y ' ' + y ' = x e x + 5

2 B e x + 2 B e x + x e x + 2 B e x + x e x + B 2 x e x + x 2 e x + 6 C e x + x e x

+ 3 C 2 x e x + x 2 e x + 3 C 2 x e x + x 2 e x + C 3 x 2 e x + x 3 e x

- 2 2 B e x + x e x + B 2 x e x + x 2 e x + 3 C 2 x e x + x 2 e x + C 3 x 2 e x + x 3 e x + A

+ B 2 x e x + x 2 e x + C 3 x 2 e x + x 3 e x = x e x + 5

Como temos uma identidade isso nos dá que:

A = 5 B = - 1 2 C = 1 6

(OBS: Aqui é interessante utilizarmos uma calculadora que resolve o sistema formado a partir da identidade, uma vez que resolver analiticamente, isto é, na mão, daria um trabalho absurdo.) Portanto temos que nossa solução geral final será:

y = c 1 + c 2 e x + c 3 x e x + 5 x - 1 2 x 2 e x + 1 6 x 3 e x

Show de bola! Conseguimos resolver nossa equação diferencial! No entanto não acabou por aqui, pois o enunciado nos deu condições iniciais para encontrarmos c 1 ,   c 2   e   c 3 . As condições são:

y 0 = 2 ,   y ' 0 = 2 ,   y ' ' 0 = - 1

Então bora encontrar essas constantes aí!

Passo 5

Aplicando a primeira condição, teremos:

2 = c 1 + c 2

Aplicando a segunda condição, teremos:

y ' = c 2 e x + c 3 e x + x e x + 5 - 1 2 2 x e x + x 2 e x + 1 6 3 x 2 e x + x 3 e x

2 = c 2 + c 3 + 5

c 2 + c 3 = - 3

E, por fim, aplicando a terceira condição, teremos:

y ' ' = c 2 e x + c 3 e x + c 3 e x + x e x - e x + x e x - 1 2 2 x e x + x 2 e x + 1 2 2 x e x + x 2 e x

+ 1 6 3 x 2 e x + x 3 e x

- 1 = c 2 + 2 c 3 - 1

c 2 + 2 c 3 = 0

c 2 = - 2 c 3

E do seguinte sistema:

c 1 + c 2 = 2 c 2 + c 3 = - 3 c 2 = - 2 c 3

Tiramos que:

c 1 = 8

c 2 = - 6

c 3 = 3

Portanto nossa solução geral tendo em vista essas condições iniciais será:

y = 8 - 6 e x + 3 x e x + 5 x - 1 2 x 2 e x + 1 6 x 3 e x

E essa é a nossa resolução, galera! 😉

Resposta

y = 8 - 6 e x + 3 x e x + 5 x - 1 2 x 2 e x + 1 6 x 3 e x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.24. y ' ' + 4 y = c o s 2 x
Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.21. y ' ' + 25 y = 20 s e n5 x
Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.25. y ' ' ' + 8 y ' ' = - 6 x 2 + 9 x + 2
Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.22. y ' ' + y = 4 . cos ⁡ x - s e nx
Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.27. y ' ' ' - 3 y ' ' + 3 y ' - y = e x - x + 16