Considere a equação diferencial de segunda ordem

a_2(x) y'' + a_1(x) y' + a_0(x) y = 0

Em que a_2(x), a_1(x) e a_0(x) são contínuas em um intervalo I e a_2(x) ≠ 0 para todo x no intervalo. Pelo Teorema 4.1, existe somente uma solução y_1 para a equação que satisfaça y(x_0) = 1 e y'(x_0) = 0 , em que x_0 é um ponto de I . Da mesma forma, existe uma única solução y_2 para a equação que satisfaça y(x_0) = 0 e y'(x_0) = 1 . Mostre que y_1 e y_2 formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial no intervalo I.

Passo 1

Opa, tudo beleza?

Olha só, vamos assumir que y 1 satisfaz y x 0 = 1   e   y ' x 0 = 0 e y 2 satisfaz y x 0 = 0   e   y ' x 0 = 1 . Com isso, temos que elas são soluções da EDO.

Para que elas sejam um conjunto fundamental, precisamos que sejam linearmente independentes. Ou seja, o Wronskiano deve ser diferente de 0.

W = y 1 ( x ) y 2 ( x ) y 1 ' ( x ) y 2 ' ( x )

= y 1 ( x ) y 2 ' ( x ) - y 2 ( x ) y 1 ' ( x )

Fazendo x = x 0 :

= y 1 ( x 0 ) y 2 ' ( x 0 ) - y 2 ( x 0 ) y 1 ' ( x 0 )

Substituindo os valores dados:

= 1 1 - 0 0 = 1 ≠ 0

Então elas são linearmente independentes, portanto são um conjunto fundamental 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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