Enunciado

Nos problemas 37-52, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.

y ' ' + y ' + 2 y = 0 ,       y 0 = y ' 0 = 0

Passo 1

E aíí, vamos pra mais um probleminha?

Vimos nessa seção do seu livro que para resolver uma equação diferencial de n-ésima ordem, vamos usar a equação auxiliar:

a . m n + b . m n - 1 + … = 0

1) Se tivermos raízes reais e distintas a solução geral da EDO é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . e m 2 x + … + c n . e m n x

2) Se tivermos raízes reais iguais, a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . x . e m 1 x

3) Se tivermos raízes complexas conjugadas, a solução geral é y = C 1 . e α + i . β x + C 2 . e α - i . β x + …

Que podemos simplificar usando a fórmula de Euler:

e a . i = cos ⁡ a + i . s e n ( a )

e - a . i = cos ⁡ a - i . s e n ( a )

E aí depois disso vamos aplicar as condições iniciais que ele deu, pra aí descobrirmos os valores das constantes

Então vamos lá??

Passo 2

Usando a equação auxiliar, vamos escrever y ' ' + y ' + 2 y = 0

Assim:

m 2 + m + 2 = 0

Resolvendo a equação:

∆ = 1 2 - 4.1 . 2 = - 7

m 1 = - 1 + 7 i 2                               m 2 = - 1 - 7 i 2

Então, a nossa solução geral fica assim:

y = c 1 . e - 1 + 7 i 2 x + c 2 . e - 1 - 7 i 2 x

Reescrevendo usando a fórmula de Euler:

y = e - x 2 . c 1 . cos ⁡ 7 x 2 + c 2 . s e n 7 x 2

Agora temos que aplicar as condições iniciais, beleza?

Passo 3

Fazendo y 0 = 0 :

y 0 = 0 = y = e -   0 2 . c 1 . cos ⁡ 7 . 0 2 + c 2 . s e n 7 . 0 2

c 1 = 0

E agora y ' 0 = 1 0 :

c 2 = 0

Então:

y = e - x 2 . 0 . cos ⁡ 7 x 2 + 0 . s e n 7 x 2

y = e - x 2 . 0

y = 0

Resposta

y = 0

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