Enunciado

Nos problemas 37-52, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.

y ' ' + y = 0 ,       y π 3 = 0 ,     y ' π 3 = 2

Passo 1

E aíí, vamos pra mais um probleminha?

Vimos nessa seção do seu livro que para resolver uma equação diferencial de n-ésima ordem, vamos usar a equação auxiliar:

a . m n + b . m n - 1 + … = 0

1) Se tivermos raízes reais e distintas a solução geral da EDO é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . e m 2 x + … + c n . e m n x

2) Se tivermos raízes reais iguais, a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . x . e m 1 x

3) Se tivermos raízes complexas conjugadas, a solução geral é y = C 1 . e α + i . β x + C 2 . e α - i . β x + …

Que podemos simplificar usando a fórmula de Euler:

e a . i = cos ⁡ a + i . s e n ( a )

e - a . i = cos ⁡ a - i . s e n ( a )

E aí depois disso vamos aplicar as condições iniciais que ele deu, pra aí descobrirmos os valores das constantes

Então vamos lá??

Passo 2

Usando a equação auxiliar, vamos escrever y ' ' + y = 0

Assim:

m 2 + 1 = 0

Resolvendo a equação:

m 2 = - 1

m = ± - 1

m = ± i

Então, a nossa solução geral fica assim:

y = c 1 . e i x + c 2 . e - i x

Reescrevendo usando a fórmula de Euler:

y = c 1 . cos ⁡ x + c 2 . s e n ( x )

Agora temos que aplicar as condições iniciais, beleza?

Passo 3

Fazendo y π 3 = 0 :

y π 3 = 0 = c 1 . cos ⁡ π 3 + c 2 . s e n π 3

c 1 . 1 2 + c 2 . 3 2 = 0

E agora y ' π 3 = 2 :

y ' π 3 = 2 = - c 1 . sen ⁡ π 3 + c 2 . c o s π 3

- c 1 . 3 2 + c 2 . 1 2 = 2

Então temos o sistema:

c 1 . 1 2 + c 2 . 3 2 = 0 - c 1 . 3 2 + c 2 . 1 2 = 2

De onde encontramos c 1 = - 3 e c 2 = 1

Então:

y = - 3 . cos ⁡ x + s e n ( x )

Resposta

y = - 3 . cos ⁡ x + s e n ( x )

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