Enunciado

Nos problemas 1-36, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.

y ' ' ' - 4 y ' ' - 5 y ' = 0

Passo 1

Oiii, vamos matar esse exercício?

Vimos nessa seção do seu livro que para resolver uma equação diferencial de n-ésima ordem, vamos usar a equação auxiliar:

a . m n + b . m n - 1 + … = 0

1) Se tivermos raízes reais e distintas a solução geral da EDO é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . e m 2 x + … + c n . e m n x

2) Se tivermos raízes reais iguais, a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . x . e m 1 x

3) Se tivermos raízes complexas conjugadas, a solução geral é y = C 1 . e α + i . β x + C 2 . e α - i . β x + …

Que podemos simplificar usando a fórmula de Euler:

e a . i = cos ⁡ a + i . s e n ( a )

e - a . i = cos ⁡ a - i . s e n ( a )

Então vamos lá??

Passo 2

Usando a equação auxiliar, vamos escrever y ' ' ' - 4 y ' ' - 5 y ' = 0

Assim:

m 3 - 4 m 2 - 5 m = 0

Vamos resolver essa equação

Colocando o m em evidência:

m . m 2 - 4 m - 5 = 0

A primeira raíz nós já temos, que é m 1 = 0

Para encontrarmos as outras duas raízes, vamos resolver essa equação do 2° grau:

m 2 - 4 m - 5 = 0

Calculando o :

∆ = - 4 2 - 4.1 . - 5 = 16 + 20 = 36

Então:

m 2 = 4 + 6 2 = 5

m 3 = 4 - 6 2 = - 1

Portanto, temos 3 raízes distintas e reais, aí a nossa solução geral fica assim:

y = c 1 . e 0 x + c 2 . e 5 x + c 3 . e - x

y = c 1 + c 2 . e 5 x + c 3 . e - x

E acabamosss

Resposta

y = c 1 + c 2 . e 5 x + c 3 . e - x

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Nos problemas 1-36, encontre a solução geral para a equação diferencia
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