Enunciado

Nos problemas 37-52, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.

y ' ' ' + 2 y ' ' - 5 y ' - 6 y = 0 ,       y 0 = y ' 0 = 0 ,       y ' ' 0 = 1

Passo 1

E aíí, vamos pra mais um probleminha?

Vimos nessa seção do seu livro que para resolver uma equação diferencial de n-ésima ordem, vamos usar a equação auxiliar:

a . m n + b . m n - 1 + … = 0

1) Se tivermos raízes reais e distintas a solução geral da EDO é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . e m 2 x + … + c n . e m n x

2) Se tivermos raízes reais iguais, a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . x . e m 1 x

3) Se tivermos raízes complexas conjugadas, a solução geral é y = C 1 . e α + i . β x + C 2 . e α - i . β x + …

Que podemos simplificar usando a fórmula de Euler:

e a . i = cos ⁡ a + i . s e n ( a )

e - a . i = cos ⁡ a - i . s e n ( a )

E aí depois disso vamos aplicar as condições iniciais que ele deu, pra aí descobrirmos os valores das constantes

Então vamos lá??

Passo 2

Usando a equação auxiliar, vamos escrever y ' ' ' + 2 y ' ' - 5 y ' - 6 y = 0

Assim:

m 3 + 2 m 2 - 5 m - 6 = 0

Resolvendo a equação, encontramos as raízes m = - 1 , m = 2 e m = - 3

Então, a nossa solução geral fica assim:

y = c 1 . e - 1 x + c 2 . e 2 x + c 3 . e - 3 x

Agora temos que aplicar as condições iniciais, beleza?

Passo 3

Fazendo y 0 = 0 :

y 0 = 0 = c 1 . e - 1 . 0 + c 2 . e 2 . 0 + c 3 . e - 3 . 0

c 1 + c 2 + c 3 = 0

Fazendo y ' 0 = 0 :

y ' 0 = 0 = - c 1 + c 2 - 3 c 3

E agora y ' ' 0 = 1 :

y ' ' 0 = 1 = c 1 + 4 c 2 + 9 c 3

Então temos o sistema:

c 1 + c 2 + c 3 = 0 - c 1 + c 2 - 3 c 3 = 0 c 1 + 4 c 2 + 9 c 3 = 1

De onde encontramos c 1 = - 1 6 , c 2 = 1 15 e c 3 = 1 10

Então:

y = - 1 6 . e - 1 x + 1 15 . e 2 x + 1 10 . e - 3 x

Resposta

y = - 1 6 . e - 1 x + 1 15 . e 2 x + 1 10 . e - 3 x

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