Enunciado

As raízes de uma equação auxiliar são m 1 = 4 , m 2 = m 3 = - 5 . Qual é a equação diferencial correspondente?

Passo 1

Então pessoal, normalmente os enunciados pedem o contrário, ou seja, nos dão a equação diferencial e pedem para que encontremos as raízes. O bom é que sabemos o formato da equação diferencial já que temos três raízes. O formato vai ser:

a y ' ' ' + b y ' ' + c y ' + d y = 0

Para encontrarmos as raízes fazemos as substituições:

y ' ' ' = m 3 ,   y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1

Se fizermos isso teremos:

a m 3 + b m 2 + c m + 1 = 0

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Passo 2

O enunciado nos diz que as raízes são: m 1 = 4 , m 2 = m 3 = - 5 , então na forma fatorada temos:

m - 4 m + 5 2 = 0

Abrindo isso aí:

m - 4 m 2 + 10 m + 25 = m 3 + 6 m 2 - 15 m - 100 = 0

Se igualarmos os resultados, teremos:

a y ' ' ' + b y ' ' + c y ' + d y = m 3 + 6 m 2 - 15 m - 100

Disso tiramos que:

a = 1

b = 6

c = - 15

d = - 100

E então nossa equação diferencial será:

y ' ' ' + 6 y ' ' ' - 15 y ' - 100 y = 0

E está aí nossa resolução, galera! 😉

Resposta

y ' ' ' + 6 y ' ' ' - 15 y ' - 100 y = 0

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