Enunciado

Nos problemas 41-48, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

41. e - y + 1 s e n   x . d x = 1 + cos ⁡ x d y , no qual y 0 = 0 .

Passo 1

Então galera, o nosso objetivo nessa questão é, primeiramente, resolver a equação diferencial da forma que estamos estudando, que é separando as variáveis, isto é, integrando tudo que tem x de um lado e tudo que tem y do outro, beleza? Show!

Quando a questão fala de condição inicial isso quer dizer que depois de resolvermos a equação diferencial, aplicando os pontos que a questão deu, conseguiremos determinar a constante arbitrária que surge na integração. O ponto dado serve exclusivamente para isso, tudo bem? Então vamos começar!

A equação que nos foi dada é:

e - y + 1 s e n   x . d x = 1 + cos ⁡ x d y

Isolando as variáveis em cada lado da equação, teremos:

d y e - y + 1 = s e n   x 1 + cos ⁡ x d x

Simplificando o lado esquerdo:

d y 1 e y + 1 = s e n   x 1 + cos ⁡ x d x

e y 1 + e y d y = s e n   x 1 + cos ⁡ x d x

Opa! Variáveis devidamente separadas. Então simbora para o último passo!

Passo 2

Agora que isolamos as variáveis o próximo passo é integrar ambos os lados, se liga:

∫ e y 1 + e y d y = ∫ s e n   x 1 + cos ⁡ x d x

Para a integral do lado esquerdo vamos utilizar uma substituição simples, que é:

u = e y + 1

d u = e y d y

Substituindo na integral, teremos:

∫ d u u = ln ⁡ u + c 1

Voltando para a variável y :

∫ e y 1 + e y d y = ln ⁡ e y + 1 + c 1

Passo 3

Para a integral da direita também vamos utilizar uma substituição simples, ok? A substituição será:

u = 1 + cos ⁡ x

d u = - s e n   x . d x

Substituindo na integral, teremos:

- ∫ d u u = - ln ⁡ u + c 2

Voltando para a variável x :

∫ s e n   x 1 + cos ⁡ x d x = - ln ⁡ 1 + cos ⁡ x + c 2

Passo 4

Por fim, igualando os resultados:

ln ⁡ e y + 1 + c 1 = - ln ⁡ 1 + cos ⁡ x + c 2

Juntando c 1 com c 2 teremos uma terceira constante que vamos chamar de c 3 , ok? Logo, nosso resultado será:

ln ⁡ e y + 1 = - ln ⁡ 1 + cos ⁡ x + c 3

Simplificando:

e y + 1 1 + cos ⁡ x = c 3

Note que agora que resolvemos a equação diferencial surgiu uma constante arbitrária, conforme discutimos no passo 1. Aplicando o ponto y 0 = 0 , teremos:

e 0 + 1 1 + cos ⁡ 0 = c 3

∴ c 3 = 4

Sendo assim, nosso resultado para a condição inicial dada será:

e y + 1 1 + cos ⁡ x = 4

E está aí a resolução! 😉

Resposta

e y + 1 1 + cos ⁡ x = 4

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