Enunciado

According to Newton’s Law of Universal Gravitation, the gravitational force on an object of mass m that has been projected vertically upward from the earth’s surface is

F   = m g R 2 ( x   +   R ) ²  

where x   =   x ( t ) is the object’s distance above the surface at time t, R is the earth’s radius, and g is the acceleration due to gravity. Also, by Newton’s Second Law,

F   =   m a   =   m   ( d v / d t )

and so

m d v d t   =   -   m g R 2 ( x   +   R ) ²    

  1. Suppose a rocket is fired vertically upward with an initial velocity v0. Let h be the maximum height above the surface reached by the object. Show that

v 0   = 2 g R h R + h    

(Hint: By the Chain Rule, m (dv/dt) = mv (dv/dx)

Passo 1

Temos uma questão bem grande aqui em mãos, mas a resolução é tranquila. Pra começar já temos nossa equação já montada o que facilita muito. Temos

m d v d t   =   -   m g R 2 ( x   +   R ) ²  

E ele ainda da a dica que podemos desmembrar d v d t pela regra da cadeia o que no deixa com

m v d v d x =   -   m g R 2 x   +   R 2

Vamos separar variáveis. Ou seja, v para um lado e x para o outro

v   d v =   -   g R 2 x   +   R 2   d x  

Agora é só integrar nos dois lados

∫ v   d v =   ∫ -   g R 2 x   +   R 2   d x

v 2 2 = g R 2 x + R + C

Prontinho. Conseguimos descrever como funciona nossa função de velocidade. Temos também dados de contorno que nos ajudam a achar C

Passo 2

Podemos dizer que temos o seguinte dado de contorno

v 0 = v 0

Um pouco vago, eu sei, mas isso vai ser o suficiente para resolver nosso problema.

v 0 2 2 = g R 2 R + C

C =   v 0 2 2 - g R  

Agora podemos jogar nosso valor de C na nossa equação

v 2 2 = g R 2 x + R +   v 0 2 2 - g R

v 0 2 = v 2 + 2 g R - 2 g R 2 x + R

Agora que vem o pulo do gato. Presta atenção . Quando x = h nosso foguete tem v = 0

v 0 2 = 0 + 2 g R - 2 g R 2 h + R

v 0 2 =   2 g R - 2 g R 2 h + R

v 0 2 =   2 g R h + R -   2 g R 2 h + R

v 0 2 =   2 g R h + R -   R h + R

v 0 2 =   2 g R h h + R

v 0 = 2 g R h h + R

Prontinho, conseguimos demonstrar o que o exercício pedia.

Passo 3

Calculate v e   =   lim h → ∞ ⁡ v 0 . This limit is called the escape velocity for the earth

v e   =   lim h → ∞ ⁡ v 0

v e   =   lim h → ∞ ⁡ 2 g R h h + R

Agora podemos usar uma propriedade de limite. Vamos jogar o limite para dentro da raiz

v e   = lim h → ∞ ⁡ 2 g R h h + R

E agora, basta usar L’Hopital, visto que temos infinito sobre inifinito

v e   = lim h → ∞ ⁡ d d h 2 g R h d d h h + R

v e   = lim h → ∞ ⁡ 2 g R 1

v e   = 2 g R

Passo 4

Determine v e

Sabemos que o raio da terra ( R ) = 6.371 km

E gravidade = 9,80665 m/s²

Logo podemos plotar esses valores e descobrir nossa velocidade de escape

v e   = 2 * 6.371.000 * 9,80665

v e = 11178   m / s

Então terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

m = 130 3 - 1 3 e - 3 200 t + l n 130

m 60 =   25.7   k g

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