Enunciado

A população de ratos do campo no Exemplo1 satisfaz a equação diferencial

d p d t = 0,5 p - 450

a) Encontre o instante em que a população é extinta se p ( 0 )   =   850

b) Encontre o instante de extinção se p 0 = p 0 ,     0 < p 0 < 850

c) Encontre a população inicial p 0   se a população torna-se extinta em 1 ano

Passo 1

a) Vamos agora ver como resolvemos edo do seguinte tipo:

d p d t = 0,5 p - 450

Sabemos que y é função de t, portanto multiplicamos ambos os lados da equação por d t .

d p = 0,5 p - 450 d t ⇒ d p p - 900 = 0,5 d t  

Agora, integramos ambos os lados

∫ d p p - 900 = ∫ 0,5 d t ⇒ ln ⁡ p - 900 = 0,5 t + C  

⇒ p = c e 0,5 t + 900

Como p 0 =   850 , então se   850 = c + 900

c   =   - 50

0 = - 50 e 0,5 t + 900

t   = 2 ln ⁡ 18

Passo 2

b) se p 0 = p 0 , temos p 0 = c + 900

No momento da extinção :

0 = ( p 0 - 900 ) e 0,5 t + 900

t   =   2 ln ⁡ - 900 p 0 - 900

Passo 3

c) Utilizando o resultado do item b

0 = ( p 0 - 900 ) e 0,5 t + 900

  t   = 12   m e s e s

0 = ( p 0 - 900 ) e 6 + 900

p 0 = - 900 e - 6 + 900

Resposta

t   = 2 ln ⁡ 18

t   =   2 ln ⁡ - 900 p 0 - 900

p 0 = - 900 e - 6 + 900

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