Enunciado

Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

47. d T d t = k T - 50 ; k é uma constante, no qual T 0 = 200 .

Passo 1

Então pessoal, para esses problemas da seção 2.5 precisamos lembrar de algumas coisinhas, ok? Essa equação diferencial que nos foi dada é uma equação diferencial linear. O formato dessa equação é esse aqui:

d T d t + P . T = Q

No qual P e Q são funções APENAS de t . Caso a função não esteja escrita nesse formato, devemos manipular a equação a fim de deixa-la nesse formato padrão, belê? Show! O lado bom é que esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:

T = e - ∫ P d t . ∫ e ∫ P d t . Q d t + c

Eu sei, parece assustador essa solução, não é? Prometo que é só impressão!

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

d T d t = k T - 50

Como queremos escrever no formato:

d T d t + P . T = Q

Teremos:

d T d t - k T = - 50 k

E então tiramos que:

P t = - k

Q t = - 50 k

Show!

Passo 3

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

T = e - ∫ P d t . ∫ e ∫ P d t . Q d t + c

T = e ∫ k d t . - 50 ∫ e - ∫ k d t . k d t + c

Para as integrais dos expoentes, teremos:

∫ k d t = k t

Substituindo:

T = e k t . - 50 k ∫ e - k t d t + c

Beleza! Resolvemos as integrais dos expoentes e simplificamos tudo. Agora que fizemos isso vamos para o último passo (AMÉM)!

Passo 4

O último passo da nossa resolução consiste em, obviamente, resolver essa última integral que aparece aí para complicar nossa vida. A integral é:

∫ e - k t d t

Para resolve-la vamos fazer uma substituição simples, que vai ser:

u = - k t

d u = - k d t

Substituindo na integral, teremos:

- 1 k ∫ e u d u = - 1 k e u

Voltando para t :

∫ e - k t d t = - 1 k e - k t

Passo 5

Agora que resolvemos todas as integrais que aparecem no problema (EU SEI, É CANSATIVO), basta substituirmos os resultados na solução geral:

T = e k t . - 50 k ∫ e - k t d t + c

T = e k t . - 50 k . - 1 k e - k t + c

T = e k t . 50 e - k t + c

T = 50 + c e k t

E está aí nosso resultado! No entanto não acaba por aqui, pois a questão nos dá uma condição inicial para descobrirmos c , não é mesmo? A condição é T 0 = 2 00 , então se aplicarmos esse ponto, teremos:

200 = 50 + c e 0

∴ c = 150

E então o resultado final mesmo será esse:

T = 50 + 150 e k t

OBS: Note que omitimos a constante arbitrária c em todas as integrações que fizemos, mas isso só ocorre porque a constante já aparece na nossa solução geral, tudo bem? Se não aparecesse, precisaríamos colocar todas as constantes, mas ainda bem que não precisamos, não é? hahaha! 😉

Resposta

T = 50 + 150 e k t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um tanque contém 500 litros de água pura. Uma solução salina contendo 2g de sal por litro é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 5 litros por minuto. A mistura é drenada à mesma taxa. Encontre
Uma força eletromotriz (fem) de 30 volts é aplicada a um circuito em série L-R no qual a indutância é de 0,5 henry e a resistência, 50 ohms. Encontre a corrente i ( t ) se i 0 = 0 . Determine a corren
Uma força eletromotiva de 100v o l t s é aplicada a um circuito R-C em série no qual a resistência é de 200 ohms e a capacitância, 10 - 4f a r a d . Encontre a carga q ( t ) no capacitor se q 0 = 0 .
Uma força eletromatriz (fem) de 200 volts é aplicada a um circuito R-C em série no qual a resistência é 1000 ohms e a capacitância, 5.10 - 6f a r a d . Encontre a carga q ( t ) no capacitor se i 0 = 0
Resolva a equação (6) supondo E t = E 0 . s e n ( ω t ) e i 0 = i 0