Enunciado

Resolva a equação (6) supondo E (t) = E_0 . s e n ( omega t ) e i (0) = i_0

Passo 1

E aííí, vamos lá pra mais um?

Precisamos resolver a equação 6 do seu livro, que é:

L (d i)/(d t) + R . i = E ( t )

E aí ele fala que E (t) = E_0 . s e n ( omega t ) :

L (d i)/(d t) + R . i = E_0 . s e n ( omega t )

Temos aqui uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita no formato (d i)/(d t) + A (t) . i = B ( t ) , olha, dividindo tudo por L :

(d i)/(d t) + (R)/(L) . i = (E_0 . s e n ( omega t ))/(L) ( I )

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

i (t) = (1)/(I (t)) (int I (t) . B (t) d t + c) ( I I )

Onde I (t) = e^(int A (t) d t)

Na nossa equação ( I ) , temos A (t) = (R)/(L) e B (t) = (E_0 . s e n ( omega t ))/(L) então:

I (t) = e^(int (R)/(L) d t)

I (t) = e^((R)/(L) t)

Substituindo o que temos na equação ( I I ) :

i (t) = (1)/(e^((R)/(L) t)) (int e^((R)/(L) t) . (E_0 . s e n ( omega t ))/(L) d t + c)

i (t) = (1)/(e^((R)/(L) t)) ((E_0)/(L) int e^((R)/(L) t) . s e n ( omega t ) d t + c) ( I I I )

Vamos calcular essa integral aí de dentro separadamente tá bom? E aí depois de termos o seu resultado, teremos a solução da EDO

Passo 2

Temos a integral:

int e^((R)/(L) t) . s e n (omega t) d t

Vamos usar integração por partes com u = s e n ( omega t ) e d v = e^((R)/(L) . t) , aí temos d u = omega . c o s ( omega t ) e v = (L)/(R) . e^((R)/(L) . t) :

int e^((R)/(L) t) . s e n (omega t) d t = s e n (omega t) . (L)/(R) . e^((R)/(L) . t) - int (L)/(R) . e^((R)/(L) . t) . omega . cos (omega t) d t

int e^((R)/(L) t) . s e n (omega t) d t = s e n (omega t) . (L)/(R) . e^((R)/(L) . t) - (L)/(R) omega int e^((R)/(L) . t) . cos (omega t) d t

Agora vamos aplicar integral por partes de novo, dessa vez com u = cos (omega t) e d v = e^((R)/(L) . t) , aí temos d u = - omega s e n ( omega t ) e v = (L)/(R) . e^((R)/(L) . t) :

int e^((R)/(L) t) . s e n (omega t) d t = s e n (omega t) . (L)/(R) . e^((R)/(L) . t) - (L)/(R) omega (cos (omega t) . (L)/(R) . e^((R)/(L) . t) - int (L)/(R) . e^((R)/(L) . t) . (- omega s e n ( omega t )) d t)

Agora é só a gente ir manipulando as variáveis:

int e^((R)/(L) t) . s e n (omega t) d t = s e n (omega t) . (L)/(R) . e^((R)/(L) . t) - (L)/(R) omega (cos (omega t) . (L)/(R) . e^((R)/(L) . t) - (- omega) . (L)/(R) int e^((R)/(L) . t) . (s e n ( omega t )) d t)

Ali no final da expressão temos exatamente a integral que queremos calcular, então nosso objetivo é mandar ela lá pro lado esquerdo, junto com a outra integral, e isolarmos elas:

int e^((R)/(L) t) . s e n (omega t) d t = (L . s e n (omega t))/(R) . e^((R)/(L) . t) - (L)/(R) omega (cos (omega t) . (L . e^((R)/(L) . t))/(R) + (omega) . (L)/(R) int e^((R)/(L) . t) . (s e n ( omega t )) d t)

int e^((R)/(L) t) . s e n (omega t) d t = (L . s e n (omega t))/(R) . e^((R)/(L) . t) - (L omega)/(R) . cos (omega t) . (L . e^((R)/(L) . t))/(R) - (L ² omega ²)/(R ²) int e^((R)/(L) . t) . (s e n ( omega t )) d t

Vamos passar a parte da integral pro outro lado:

int e^((R)/(L) t) . s e n (omega t) d t + (L ² omega ²)/(R ²) int e^((R)/(L) . t) . (s e n ( omega t )) d t = (L . s e n (omega t))/(R) . e^((R)/(L) . t) - (L^2 omega . e^((R)/(L) . t) . cos (omega t))/(R ²)

Colocando a integral em evidência:

int e^((R)/(L) t) . s e n (omega t) d t . (1 + (L^2 omega^2)/(R^2)) = (L)/(R) . e^((R)/(L) . t) . (s e n (omega t) - (L)/(R) omega . cos (omega t))

Ta bom, mas precisamos do resultado da integral, então vamos isolar beleza?

Passo 3

Agora vamos isolar a integral para termos seu resultado:

int e^((R)/(L) t) . s e n (omega t) d t = (((L)/(R) . e^((R)/(L) . t) . ((R . s e n (omega t))/(R) - (L . omega . cos (omega t))/(R))))/((1 + (L^2 omega^2)/(R^2)))

Vamos dar uma simplificada nesse monstrinho aí:

int e^((R)/(L) t) . s e n (omega t) d t = (((L)/(R) . e^((R)/(L) . t) . ((1)/(R) . (R . s e n (omega t) - L . omega . cos (omega t)))))/(((R^2)/(R^2) + (L^2 omega^2)/(R^2)))

int e^((R)/(L) t) . s e n (omega t) d t = (((L . e^((R)/(L) . t) . (R . s e n (omega t) - L . omega . cos (omega t)))/(R ²)))/(((R^2 + L^2 omega^2)/(R^2)))

Cortando o R ² :

int e^((R)/(L) t) . s e n (omega t) d t = (L . e^((R)/(L) . t) . (R . s e n (omega t) - L . omega . cos (omega t)))/(R^2 + L^2 omega^2) ( I V )

E esse é o resultado da nossa integral, agora vamos substituir lá em ( I I I )

Passo 4

Temos

i (t) = (1)/(e^((R)/(L) t)) ((E_0)/(L) int e^((R)/(L) t) . s e n ( omega t ) d t + c)

Substituindo ( I V ) :

i (t) = (1)/(e^((R)/(L) t)) ((E_0)/(L) . ((L . e^((R)/(L) . t) . (R . s e n (omega t) - L . omega . cos (omega t)))/(R^2 + L^2 omega^2)) + c)

Dá pra cortar o L olha:

i (t) = (1)/(e^((R)/(L) t)) ((E_0 . e^((R)/(L) . t) . (R . s e n (omega t) - L . omega . cos (omega t)))/(R^2 + L^2 omega^2) + c)

Multiplicando o de fora com o de dentro:

i (t) = (E_0 . e^((R)/(L) . t) . (R . s e n (omega t) - L . omega . cos (omega t)))/(e^((R)/(L) t) (R^2 + L^2 omega^2)) + (c)/(e^((R)/(L) t))

Por fim, a expressão da corrente é dada assim:

i (t) = (E_0 . (R . s e n (omega t) - L . omega . cos (omega t)))/((R^2 + L^2 omega^2)) + c . e^(- (R)/(L) t)

Mas ainda precisamos considerar que i (0) = i_0 , vamos lá

Passo 5

Temos

i (t) = (E_0 . (R . s e n (omega t) - L . omega . cos (omega t)))/((R^2 + L^2 omega^2)) + c . e^(- (R)/(L) t)

Usando que i (0) = i_0 :

i (0) = i_0 = (E_0 . (R . s e n (omega . 0) - L . omega . cos (omega . 0)))/((R^2 + L^2 omega^2)) + c . e^(- (R)/(L) . 0)

i (0) = i_0 = (E_0 . (R . 0 - L . omega . 1))/((R^2 + L^2 omega^2)) + c . e^0

(E_0 . (- L . omega))/((R^2 + L^2 omega^2)) + c . 1 = i_0

(- L omega . E_0)/((R^2 + L^2 omega^2)) + c = i_0

c = i_0 + (L omega . E_0)/((R^2 + L^2 omega^2))

Substituindo na nossa equação, temos nosso resultado final:

i (t) = (E_0 . (R . s e n (omega t) - L . omega . cos (omega t)))/((R^2 + L^2 omega^2)) + (i_0 + (L omega . E_0)/((R^2 + L^2 omega^2))) . e^(- (R)/(L) t)

Resposta

i (t) = (E_0 . (R . s e n (omega t) - L . omega . cos (omega t)))/((R^2 + L^2 omega^2)) + (i_0 + (L omega . E_0)/((R^2 + L^2 omega^2))) . e^(- (R)/(L) t)

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