Uma força eletromatriz (fem) de 200 volts é aplicada a um circuito R-C em série no qual a resistência é 1000 ohms e a capacitância, 5.10^(-6) farad . Encontre a carga q(t) no capacitor se i(0) = 0,4 . Determine a carga quando t -> infinito .

Passo 1

Oii, vamos pra mais uma?

Aqui vamos utilizar a equação 8 dessa seção do seu livro, que fala justamente sobre o circuito em série R-C

R d q d t + 1 C q = E ( t )

E aí ele fala que E = 200   V , R = 1000   o h m s e C = 5.10 - 6   f a r a d , vamos substituir:

1000 d q d t + 1 5.10 - 6 q = 200

Temos aqui uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita no formato d q d t + A t . q = B ( t ) , olha, dividindo tudo por 1000 :

d q d t + 200 q = 0,2

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

q t = 1 I t ∫ I t . B t   d t + c     ( I I )

Onde I t = e ∫ A t   d t

Na nossa equação ( I ) , temos A t = 200 e B t = 0,2 = 2 10 então:

I t = e ∫ 200   d t

I t = e 200 t

Substituindo o que temos na equação ( I I ) :

q t = 1 e 200 t ∫ e 200 t . 2 10   d t + c

q t = 1 e 200 t e 200 t 1000 + c

Então:

q t = 1 1000 + c . e - 200 t

Agora só falta encontrar o valor de c

Passo 2

Temos

q t = 1 1000 + c . e - 200 t     ( I I I )

E o enunciado falou que i 0 = 0.4 , então a primeira coisa que temos que fazer é encontrar i ( t ) , para aí termos o valor de c e substituirmos em q ( t )

A corrente i ( t ) é a derivada da carga q ( t ) , belezinha? Então:

i t = d d t 1 1000 + c . e - 200 t

i t = 0 + c . - 200 . e - 200 t

i t = - 200 c . e - 200 t

Ta bom, essa é a expressão da corrente, agora vamos usar que i 0 = 0,4 :

i 0 = 0,4 = - 200 c . e - 200.0

- 200 c = 0,4

c = - 0,4 200 = - 2.10 - 3

Agora vamos substituir esse valor de c lá na equação ( I I I ) , e aí temos a expressão da carga:

q t = 1 1000 + - 2.10 - 3 ⋅ e - 200 t

q t = 1 1000 - 2 ⋅ 10 - 3 ⋅ e - 200 t

Passo 3

Agora vamos responder a última pergunta do enunciado galeraaa

Ele quer saber quando vale a carga q ( t ) quando t → ∞ :

lim t → ∞ ⁡ 1 1000 - 2 ⋅ 10 - 3 ⋅ e - 200 t

Quando t → ∞ , e - 200 t → 0 , então:

lim t → ∞ ⁡ 1 1000 - 2 ⋅ 10 - 3 ⋅ e - 200 t = 1 100 0 - 2 ⋅ 10 - 3 ⋅ 0

= 1 1000

E fim :)

Resposta

q t = 1 100 0 - 2 ⋅ 10 - 3 ⋅ e - 20 0 t

lim t → ∞ ⁡ 1 100 0 - 2 ⋅ 10 - 3 ⋅ e - 20 0 t = 1 100 0

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