Enunciado

Nos problemas 43-45, resolva a equação diferencial dada.

x - 1 2 d 2 y d x 2 - 2 x - 1 d y d x - 4 y = 0

(Sugestão: Faça t = x - 1 )

Passo 1

Opa! Como vai?

A gente quer resolver essa EDO aqui:

x - 1 2 d 2 y d x 2 - 2 x - 1 d y d x - 4 y = 0

Vamos fazer a substituição t = x - 1 .

Aí teremos:

t 2 d 2 y d x 2 - 2 t d y d x - 4 y = 0

E as derivadas:

d y d x = d y d t ⋅ d t d x = d y d t

E daí teremos:

d 2 y d t 2 = d 2 y d t 2

Passo 2

Beleza, agora vamos substituir isso na EDO e ver no que dá:

t 2 d 2 y d t 2 - 2 t d y d t - 4 y = 0

Fazendo agora y = t m , temos:

y ' = m t m - 1

y ' ' = m m - 1 t m - 2

Substituindo:

t 2 m m - 1 t m - 2 - 2 t m t m - 1 - 4 t m = 0

m 2 t m - m t m - 2 m t m - 4 t m = 0

t m m 2 - 3 m - 4 = 0

Show! Nossa equação auxiliar então é:

m 2 - 3 m - 4 = 0

Passo 3

Agora a gente resolve essa equação e encontra:

m 1 = 4     e     m 2 = - 1

A solução geral então é:

y = c 1 t 4 + c 2 t - 1

E como t = x - 1 , temos:

y = c 1 x - 1 4 + c 2 x - 1 - 1

E prontinho! 😉

Resposta

y = c 1 x - 1 4 + c 2 x - 1 - 1

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