Enunciado

Nos problemas 35-40, resolva a equação diferencial dada fazendo a substituição x = e t .

x 2 y ' ' - 3 x y ' + 13 y = 4 + 3 x

Passo 1

Opa! Como vai?

A gente quer resolver essa EDO aqui:

x 2 y ' ' - 3 x y ' + 13 y = 4 + 3 x

Fazendo a substituição x = e t :

e 2 t y ' ' - 3 e t y ' + 13 y = 4 + 3 e t

Agora precisamos colocar as derivadas de y em função de t também:

d y d x = d y d t ⋅ d t d x = 1 x d y d t = 1 e t d y d t

E daí teremos:

d 2 y d t 2 = 1 e 2 t d 2 y d t 2 - d y d t

Passo 2

Beleza, agora vamos substituir isso na EDO e ver no que dá:

e 2 t y ' ' - 3 e t y ' + 13 y = 4 + 3 e t

e 2 t 1 e 2 t d 2 y d t 2 - d y d t - 3 e t 1 e t d y d t + 13 y = 4 + 3 e t

d 2 y d t 2 - d y d t - 3 d y d t + 13 y = 4 + 3 e t

y ' ' - 4 y ' + 13 y = 4 + 3 e t

Nossa equação homogênea associada então é:

y ' ' - 4 y ' + 13 y = 0

Show! Nossa equação auxiliar então é:

m 2 - 4 m + 13 = 0

Passo 3

Agora a gente resolve essa equação e encontra:

m 1 = 2 + 3 i     e     m 2 = 2 - 3 i

A solução geral então é:

y g = e 2 t [ c 1 cos ⁡ 3 t + c 2 sen ⁡ 3 t ]

Beleza, vamos pra parte não homogênea agora...

Passo 4

Bom, como a gente tem 2 t   do outro lado, vamos chutar uma solução do tipo:

y p = A + B e t

Aí a gente vai encontrar esse coeficiente A . Pra isso a gente tem que substituir na EDO. Vamos descobrir as derivadas:

y p ' = B e t

y p ' ' = B e t

Substituindo:

y ' ' - 4 y ' + 13 y = 4 + 3 e t

B e t - 4 B e t + 13 A + B e t = 4 + 3 e t

B e t - 4 B e t + 13 A + 13 B e t = 4 + 3 e t

10 B e t + 13 A = 4 + 3 e t

Daí a gente tira que:

B = 3 10

A = 4 13

Então:

y p = 4 13 + 3 10 e t

Passo 5

Nossa solução então é:

y = y g + y p

y = e 2 t c 1 cos ⁡ 3 t + c 2 sen ⁡ 3 t + 4 13 + 3 10 e t

E como x = e t , temos t = ln ⁡ x . E a nossa solução é:

y = x 2 c 1 cos ⁡ 3 ln ⁡ x + c 2 sen ⁡ 3 ln ⁡ x + 4 13 + 3 10 x

e... acabamos!

Resposta

y = x 2 c 1 cos ⁡ 3 ln ⁡ x + c 2 sen ⁡ 3 ln ⁡ x + 4 13 + 3 10 x

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